Дробный квантовый эффект Холла (ДКЭХ) является фундаментальным проявлением взаимодействий электронов в двумерных электронных системах при низких температурах и сильных магнитных полях. В отличие от целого квантового эффекта Холла, где наблюдается строгое квантование проводимости с целыми коэффициентами заполнения, ДКЭХ возникает при дробных значениях заполнения Ландау уровней. Этот эффект был впервые обнаружен в экспериментах Тсуйи и Стормера в начале 1980-х годов и сразу продемонстрировал важность электрон-электронных взаимодействий для формирования коллективных квантовых состояний.
В присутствии сильного перпендикулярного магнитного поля электроны в двумерной системе движутся по циклотроническим орбитам, что приводит к образованию дискретных энергетических уровней — Ландау уровней:
$$ E_n = \hbar \omega_c \left(n + \frac{1}{2}\right), \quad n = 0, 1, 2, ... $$
где $\omega_c = \frac{eB}{m^*}$ — циклотронная частота, B — магнитное поле, m* — эффективная масса электрона.
Для заполнения Ландау уровней вводится параметр коэффициент заполнения:
$$ \nu = \frac{n_e h}{eB} $$
где ne — поверхностная плотность электронов. ДКЭХ возникает при дробных значениях ν, таких как 1/3, 2/5, 5/2 и других.
В отличие от целого квантового эффекта Холла, где электроны можно рассматривать как независимые частицы, ДКЭХ требует учета сильных корреляций между электронами. В этой связи важно понятие квазичастиц с дробным зарядом:
$$ q^* = \frac{e}{m}, \quad m \in \mathbb{Z} $$
Эти квазичастицы формируются в результате коллективного поведения электронов и несут дробный электрический заряд. Микроскопическая теория, предложенная Робертом Лаффли, описывает состояние ν = 1/m с помощью волновой функции:
$$ \Psi_m(z_1, \dots, z_N) = \prod_{i<j} (z_i - z_j)^m \exp\left(-\sum_k \frac{|z_k|^2}{4 l_B^2}\right) $$
где $l_B = \sqrt{\hbar / eB}$ — магнитный длина, zk = xk + iyk — комплексное представление координат электрона. Этот вид волновой функции подчеркивает сильные корреляции и исключение электронов из одного и того же квантового состояния.
Лаффли предложил концепцию жидкости Лаффли, где электроны образуют коллективное состояние с минимизацией кулоновской энергии. Для более сложных коэффициентов заполнения, например ν = 2/5 или ν = 3/7, используется иерархическая теория Халперина, где на основе базового состояния ν = 1/m формируются новые фракции через образование квазичастиц второго порядка.
Ключевые моменты этой теории:
Основные экспериментальные проявления ДКЭХ:
$$ \sigma_{xy} = \nu \frac{e^2}{h}, \quad \nu = \frac{p}{q}, \; q \text{ нечетное} $$
Особый интерес представляет наблюдение состояния ν = 5/2, которое, возможно, обладает неабелевской топологической статистикой, открывая путь к применению в топологической квантовой информации.
Квазичастицы ДКЭХ обладают топологическим характером:
Эти топологические свойства напрямую связаны с устойчивостью состояния к локальным возмущениям, что делает ДКЭХ уникальным примером квантового топологического порядка.
ДКЭХ наблюдается при крайне низких температурах (T < 1 К) и требует высоких качественных образцов двумерной системы с малым рассеянием. Продольное сопротивление ρxx подчиняется закону активации:
$$ \rho_{xx} \sim \exp\left(-\frac{\Delta}{2 k_B T}\right) $$
где Δ — энергетический зазор, зависящий от магнитного поля и коэффициента заполнения.
Диссипативные процессы могут разрушить фракционное состояние, что подчеркивает важность чистоты кристалла и контроля внешних условий для наблюдения эффекта.
ДКЭХ является одной из ключевых областей изучения:
Этот эффект продолжает стимулировать исследования в области физики конденсированных сред, открывая новые направления в теории топологических состояний вещества.