Геометрическая фаза Берри и ее обобщения

Основы геометрической фазы

Геометрическая фаза, впервые формализованная Майклом Берри в 1984 году, возникает у квантовой системы при медленном (адъабатическом) изменении параметров гамильтониана, когда система возвращается в исходное физическое состояние. В отличие от динамической фазы, которая зависит от времени и энергии системы, геометрическая фаза определяется исключительно пути, пройденного системой в пространстве параметров.

Если |ψ(t)⟩ — собственное состояние гамильтониана H(R(t)), где R(t) — набор параметров, изменяющихся по времени, то после замкнутого цикла C в параметрическом пространстве система приобретает фазу:

|ψ(T)⟩ = ei(γ + δ)|ψ(0)⟩

где $\delta = -\frac{1}{\hbar} \int_0^T E(t) dt$ — динамическая фаза, а γ — геометрическая фаза Берри:

γ = i∮C⟨ψ(R)|∇Rψ(R)⟩ ⋅ dR.

Ключевой момент: геометрическая фаза зависит только от формы пути C в пространстве параметров, а не от скорости его прохождения.

Связь с векторными потенциалами и холономией

Выражение для геометрической фазы можно переписать через адъабатический векторный потенциал:

????(R) = i⟨ψ(R)|∇Rψ(R)⟩,

что формально напоминает связь с электромагнитным потенциалом. Тогда геометрическая фаза становится интегралом вдоль контура C:

γ = ∮C????(R) ⋅ dR.

Если применить теорему Стокса, можно записать фазу через кривизну Берри ℱ = ∇ × ????:

γ = ∫Sℱ ⋅ dS,

где S — поверхность, ограниченная контуром C. Этот факт устанавливает фундаментальную связь между геометрической фазой и топологическими инвариантами.

Примеры в простых системах

  1. Спин-½ в магнитном поле Для частицы со спином ½, помещённой в магнитное поле B(t), собственные состояния меняются при вращении поля. Геометрическая фаза в этом случае равна половине площади на сфере Блоха, ограниченной траекторией направления спина:

$$ \gamma = \frac{1}{2} \Omega_{\text{solid}}. $$

  1. Двухуровневая система с параметрическим гамильтонианом Для гамильтониана вида

H(R) = R ⋅ σ,

где σ — вектор Паули, геометрическая фаза пропорциональна площади, покрытой вектором R на единичной сфере.

Обобщения геометрической фазы

  1. Невырожденные мультиуровневые системы В случае N-кратной вырождения собственных состояний вводят матричный потенциал Берри ????mn = i⟨ψm|∇ψn⟩. Геометрическая фаза становится матричной и описывается понятием некоммутативной холономии.

  2. Неврaдиационные процессы Если изменение параметров не является строго адъабатическим, можно определить неадъабатическую геометрическую фазу через развитие состояния вдоль траектории в проективном пространстве гильбертова пространства:

γ = arg ⟨ψ(0)|ψ(T)⟩ − им. динамическая фаза.

  1. Геометрическая фаза в смешанных состояниях Для статистической смеси ρ = ∑kpk|ψk⟩⟨ψk| геометрическая фаза определяется через инварианты Пуэрра-Лиувилля и интеграл:

γmixed = arg Tr(ρ(0)U(T)),

где U(T) — эволюционный оператор. Это имеет критическое значение для топологических квантовых вычислений.

Связь с топологическими инвариантами

Геометрическая фаза лежит в основе многих топологических эффектов в конденсированной материи:

  • Эффект Холла: интеграл кривизны Берри по заполненной зоне даёт интегральный топологический инвариант (число Черна).
  • Топологические изоляторы: различие между фазами определяется топологическими индексами, вычисляемыми через кривизну Берри.
  • Квантовые спиновые эффекты: спиновые токи, связанные с геометрическими фазами, проявляются в спинтронике и эффектах на поверхности топологических материалов.

Методика вычисления и измерения

  1. Численные методы

    • Диагонализация гамильтониана на сетке в пространстве параметров.
    • Вычисление матричного потенциала и кривизны Берри для каждой зоны.

  2. Экспериментальные наблюдения

    • Интерферометрические схемы: сдвиг фазы проявляется как интерференционный сдвиг.
    • Топологические переходы в сверхпроводниках и графеноподобных материалах: измерение токов Холла и спиновых токов.

Ключевой момент: геометрическая фаза — это универсальный инструмент, связывающий квантовую динамику и топологию, позволяющий классифицировать состояния вещества и предсказывать новые эффекты на основе структуры фазового пространства.

Оглавление