Гомотопические группы и топологические инварианты

Основные понятия гомотопии

В физике топологических состояний вещества гомотопические группы служат фундаментальным инструментом для классификации топологических дефектов и устойчивых конфигураций поля. Гомотопия — это способ формального определения того, когда два отображения из одной топологической структуры в другую могут быть непрерывно деформированы друг в друга.

Пусть X и Y — топологические пространства, а f, g : X → Y — два отображения. Они называются гомотопными (f ∼ g), если существует непрерывная функция H : X × [0, 1] → Y, такая что:

H(x, 0) = f(x),  H(x, 1) = g(x),  ∀x ∈ X.

Таким образом, гомотопия формализует идею “непрерывного превращения” одной конфигурации в другую без разрывов.

Определение гомотопических групп

Гомотопические группы (πn) позволяют классифицировать различные типы топологических дефектов, учитывая размерность пространства и тип структуры.

  1. Первая гомотопическая группа (π1) Первая гомотопическая группа, или фундаментальная группа, характеризует замкнутые петли в пространстве. Для фиксированной точки x0 ∈ X, π1(X, x0) состоит из классов эквивалентности петлей, исходящих и возвращающихся в x0.

    • Пример: Для тора T2, π1(T2) = ℤ × ℤ, что отражает независимые обвивания вокруг двух основных циклов тора.
    • Фундаментальная группа используется для описания линейных дефектов, таких как дислокации или вихри в сверхтекучих и ферромагнитных системах.

  2. Высшие гомотопические группы (πn, n > 1) Они описывают замкнутые n-мерные поверхности (сферы) в пространстве и позволяют классифицировать более сложные дефекты, например:

    • π2(S2) = ℤ — характеризует монополи в ферромагнетиках и жидких кристаллах.
    • π3(S2) = ℤ — топологические конфигурации, называемые скермы, в трехмерных магнетиках.

Высшие гомотопические группы особенно важны для классификации топологических возбуждений в квазичастицах.

Топологические инварианты

Топологический инвариант — величина, которая сохраняется при непрерывных деформациях системы. Они напрямую связаны с гомотопическими группами и определяют стабильность топологических фаз.

  1. Число Черна (C) Используется в квантовой теории Холла и топологических изоляторах. Определяется через интеграл от кривизны Бери F по замкнутой двумерной зоне Бриллюэна:

    $$ C = \frac{1}{2\pi} \int_{\text{BZ}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}. $$

    Число Черна принимает целые значения, которые нельзя изменить непрерывными преобразованиями, если сохраняется энергетический зазор.

  2. Векторный инвариант З2 В топологических изоляторах в двух и трех измерениях используется ℤ2 инвариант, который определяет наличие защитных краевых состояний.

  3. Волновая топология В суперпроводниках и спинтронных материалах применяются топологические индексы для описания скеров, вихрей и поверхностных состояний:

    • Инвариант Скелтона (winding number):

    $$ \nu = \frac{1}{2\pi} \oint_C \nabla \phi \cdot d\mathbf{l}, $$

    где ϕ — фазовое поле порядка, а C — замкнутый контур.

Эти инварианты строго связаны с гомотопическими группами: π1 ↔︎ ν, π2 ↔︎ C и т.д.

Примеры топологических дефектов

  • Вихри в сверхтекучей жидкости: описываются первой гомотопической группой π1(U(1)) = ℤ.
  • Монополи в магнетиках: описываются второй гомотопической группой π2(S2) = ℤ.
  • Скеры в ферромагнетиках и жидких кристаллах: связаны с π3(S2).

Каждый дефект характеризуется топологическим зарядом, который сохраняется при любых гладких деформациях системы. Это обеспечивает их устойчивость, что является ключевым для практических приложений, таких как топологические квантовые вычисления и спинтроника.

Взаимосвязь гомотопий и физических моделей

В физических системах топологические инварианты напрямую влияют на наблюдаемые свойства:

  1. Энергетическая устойчивость: Топологические дефекты не могут исчезнуть без образования разрывов или перехода через энергетический барьер.
  2. Краевые состояния: В топологических изоляторах и сверхпроводниках наличие неустранимых топологических инвариантов гарантирует появление устойчивых краевых или поверхностных состояний.
  3. Классификация фаз: Фазы вещества можно различать не только по симметрии, но и по топологическим индексам, что расширяет традиционную Landau–Ginzburg классификацию.
Оглавление