Гравитационная аномалия в контексте квантовой теории поля возникает как нарушение сохранения тензора энергии-импульса при квантовании системы. В отличие от калибровочных аномалий, связанных с несохранением заряда или токов симметрии, гравитационные аномалии отражают фундаментальные ограничения на совместимость квантовой теории с общей ковариантностью. В конденсированных средах такие аномалии проявляются не как реальное взаимодействие с гравитационным полем, а как эффективные феномены, описывающие кривизну пространства параметров или геометрические аспекты электронных состояний.
Особенно ярко гравитационные аномалии проявляются в топологических фазах вещества, где волновые функции электронов чувствительны к глобальной структуре пространства, в котором они определены. Таким образом, гравитационная аномалия становится индикатором нетривиальной топологической природы фазовых состояний.
Гравитационные аномалии условно делят на чисто гравитационные и смешанные (гравитационно-калибровочные). Первые отражают нарушение сохранения энергии-импульса в квантовой теории на кривом многообразии, вторые связывают геометрические свойства с калибровочными симметриями. В конденсированных средах они находят физическое воплощение в аномальных транспортных явлениях, включая теплопроводность и термоэлектрические эффекты.
Ключевым примером служит аномальный тепловой квант Холла в двухмерных топологических сверхпроводниках, где гравитационная аномалия напрямую определяет величину теплового отклика по аналогии с квантовым эффектом Холла для электрического заряда.
Гравитационные аномалии тесно связаны с краевой теорией топологических изоляторов и сверхпроводников. В (1+1)-мерных краевых состояниях можно рассматривать эффективные теории поля, в которых присутствует несохранение тензора энергии-импульса. Это несохранение компенсируется за счёт аномального отклика объемной системы, что выражает принцип аномальной иномальности: несовместимость чисто краевой теории устраняется только при её рассмотрении как границы более высокой размерности.
Таким образом, гравитационные аномалии служат мостом между краевыми и объемными состояниями, гарантируя существование топологически защищённых мод на границе.
Одним из наиболее наглядных способов проявления гравитационной аномалии является квантовый тепловой эффект Холла. В двумерных топологических фазах, таких как хиральные сверхпроводники или фракционные состояния квантового Холла, краевые возбуждения переносят тепловую энергию без диссипации. Этот перенос строго квантуется и определяется центральным зарядом соответствующей конформной теории поля на границе.
Формально тепловая проводимость выражается как
$$ \kappa_{xy} = \frac{\pi^2 k_B^2 T}{3h} c, $$
где c — центральный заряд краевой теории, отражающий наличие гравитационной аномалии.
Кроме тепловых эффектов, гравитационные аномалии проявляются в аномальной энтропии краевых мод, в топологических вкладах в свободную энергию, а также в геометрических ответах систем на деформацию или кручение решетки.
Гравитационная аномалия в конденсированных средах часто описывается через эффективные действия, зависящие от кривизны и торсии. Примером служит термин Черна–Саймонса гравитационного типа, включающий криволинейные связности. Такие термины не влияют на локальную динамику частиц, но определяют глобальные свойства и топологические отклики.
Это объясняет, почему в системах с гравитационной аномалией тепловой отклик зависит не от деталей микроскопического гамильтониана, а исключительно от топологического инварианта системы.
Современные работы показывают, что гравитационные аномалии в конденсированных средах можно рассматривать как часть общей программы изучения голографических соответствий и эффективных полевых теорий для топологических фаз. В частности, существует глубокая аналогия между краевыми конформными теориями и описанием чёрных дыр в гравитации, где центральный заряд играет ту же роль, что и в квантовом тепловом эффекте Холла.
Эти наблюдения указывают на то, что гравитационные аномалии — не просто формальный объект теории поля, но и универсальный физический принцип, связывающий геометрию, термодинамику и топологию в конденсированных средах.