Квантовые фазовые переходы в реальном времени

Основы квантовых фазовых переходов

Квантовые фазовые переходы (КФП) отличаются от классических тем, что происходят при абсолютной нулевой температуре T → 0 и управляются не тепловыми флуктуациями, а квантовыми. Основным управляющим параметром является не температура, а внешние поля, давление, химический потенциал или параметры взаимодействия в системе, которые изменяют спектр низкоэнергетических возбуждений.

В математическом описании КФП ключевую роль играет гамильтониан системы Ĥ(λ), где λ — контролируемый параметр. Критическая точка λ_c определяется условием изменения структуры основного состояния или характера квантовой корреляции:

Ĥ(λ_c) |ψ₀⟩ = E₀(λ_c) |ψ₀⟩,

где |ψ₀⟩ — основное состояние системы.

КФП характеризуются изменением топологических инвариантов, порядковых параметров или симметрий системы. В отличие от термодинамических фазовых переходов второго рода, квантовые переходы могут сопровождаться появлением когерентных топологических структур, таких как солитоны, вихри или скейлетоны, что делает их изучение в реальном времени особенно сложным и интересным.

Динамика квантовых переходов

Реальное время вводит необходимость рассмотрения нереверсивной эволюции квантовой системы. Классическая теорема Адабра позволяет описать медленное изменение гамильтониана, однако в случае резких квантовых переходов динамика выходит за пределы адiabatic approximation. Эволюцию состояния |ψ(t)⟩ задает уравнение Шредингера:

$$ i \hbar \frac{\partial}{\partial t} | \psi(t) \rangle = \hat{H}(\lambda(t)) | \psi(t) \rangle, $$

где λ(t) — медленно или быстро меняющийся внешний параметр.

Ключевой момент: скорость изменения λ̇(t) относительно критической шкалы определяет характер перехода:

Адиабатический режим: λ̇ ≪ Δ²/ℏ, где Δ — минимальный разрыв энергии между основным и первым возбуждённым состоянием. Система следует основному состоянию.
Неадиабатический режим: λ̇ ≳ Δ²/ℏ, возникают переходы к возбужденным состояниям, формируются квантовые флуктуации и топологические дефекты.

Квантовая критическая область

Вблизи критической точки квантовая система проявляет критическую динамику, где временные и пространственные корреляции становятся масштабно-инвариантными. Квантовая критическая область определяется соотношением:

ξ ∼ |λ − λ_c|^−ν, τ ∼ ξ^z,

где ξ — корреляционная длина, τ — характерное время релаксации, ν и z — критические показатели.

Особенностью квантовых фазовых переходов в реальном времени является то, что эти критические показатели определяют не только статические свойства, но и скорость образования топологических дефектов и квантовую коэренцию системы.

Механизмы образования топологических дефектов

В процессе быстрого прохождения через критическую точку возникают дефекты, описываемые механизмом Киббла–Зурека (Kibble–Zurek mechanism, KZM). Для квантовых систем формула масштаба дефектов имеет вид:

$$ n_\text{def} \sim \tau_Q^{-\frac{d \nu}{1+ \nu z}}, $$

где n_def — плотность дефектов, d — размерность системы, τ_Q — характерное время квантового “квази-резкого” изменения параметра.

Эта формула связывает скорость изменения внешнего поля с формированием вихрей, дислокаций или солитонов, и позволяет прогнозировать появление макроскопически наблюдаемых топологических состояний.

Квантовая динамика в дискретных системах

Для спиновых и фермионных решеток реальное время квантовых переходов изучается через модели типа:

Модель Изинга в транзверсном поле:

Ĥ = −J∑_iσ_i^zσ_i + 1^z − h(t)∑_iσ_i^x

где h(t) — временно изменяемое поле.

Хейзенбергские модели и топологические изоляты:

Ĥ = J∑_⟨i, j⟩S_i ⋅ S_j + λ(t)∑_iS_i^zS_i + 1^z

Эти модели позволяют отслеживать динамическое изменение квантовых корреляций, инвариантов Черна и формирование квазичастиц типа Майораны.

Методы анализа реального времени

Для количественного анализа применяются:

Временные матричные методы (tDMRG, TEBD) — для одномерных спиновых цепочек и фермионных решеток.
Квантовые симуляции на холодных атомах — позволяют наблюдать формирование дефектов и топологических состояний.
Функциональный интеграл Кельдеша — формализм для нереверсивной эволюции и квантовых флуктуаций.

Эти методы позволяют учитывать неадиабатические эффекты, квантовые шумы и спонтанное возникновение топологических структур.

Роль квантовых флуктуаций

В отличие от термодинамических фазовых переходов, квантовые флуктуации в реальном времени могут приводить к:

Случайным переходам между близкими по энергии состояниями, что усиливает нестабильность вокруг критической точки.
Декомпозиции когерентных топологических структур, таких как вихревые сети или спиновые солитоны.
Корреляции на больших масштабах, которые проявляются как макроскопическая когерентность или квантовая запутанность.

Таким образом, динамика КФП в реальном времени — это сложная взаимосвязь между контролируемыми внешними параметрами, внутренними квантовыми корреляциями и формированием топологических объектов.

Практические наблюдения

Экспериментальные системы, где КФП в реальном времени активно изучаются:

Холодные атомные газы в оптических решетках — управление взаимодействием и переходами между Мотт-инсулатором и сверхтекучим состоянием.
Топологические изоляты и сверхпроводники — наблюдение квантовых вихрей и состояний Майораны.
Кристаллы спиновых цепочек — тестирование Kibble–Zurek scaling и динамических критических показателей.

Эти системы позволяют напрямую сравнивать теоретические предсказания с экспериментальными данными, в том числе по количеству дефектов, скорости релаксации и квантовой когерентности.