Некоммутативная геометрия (НГ) представляет собой математический аппарат, позволяющий описывать физические системы, где координаты пространства не коммутируют друг с другом. В контексте физики конденсированного состояния вещества это становится особенно актуально при рассмотрении низкоразмерных электронных систем, топологических изоляторов и квантовых эффектов Холла.
Фундаментальный принцип НГ заключается в том, что классическая геометрия с коммутирующими координатами (xixj = xjxi) заменяется алгеброй операторов x̂i, удовлетворяющих соотношению:
[x̂i, x̂j] = iθij,
где θij — антисимметричная матрица, задающая масштаб некоммутативности. Это выражение является аналогом коммутационного соотношения между координатой и импульсом в квантовой механике, но переносит квантовые свойства непосредственно на пространство.
Двумерные электронные газы (2DEG) в сильных магнитных полях демонстрируют физические проявления некоммутативности. В рамках модели квантового эффекта Холла, координаты Ландау-орбит (X, Y) не коммутируют:
[X, Y] = iℓB2,
где $\ell_B = \sqrt{\hbar / eB}$ — магнитный длина Ландау. Это ключевой пример того, как макроскопическое поведение электронов может быть описано через некоммутативные координаты. Вследствие этого формализуется понятие “плоскости Ландау”, где плотность состояний становится дискретной и топологически защищённой.
Для анализа полей на некоммутативной плоскости используется звездная продукция (Moyal product). Для двух функций f(x) и g(x) на некоммутативном пространстве она определяется как:
$$ (f \star g)(x) = f(x) \exp \left(\frac{i}{2} \overleftarrow{\partial_i} \theta^{ij} \overrightarrow{\partial_j} \right) g(x). $$
Эта операция заменяет обычное произведение и позволяет вычислять динамику полей и операторов в условиях некоммутативности. В физике конденсированного состояния она используется для описания плотности электронов, токов и топологических инвариантов.
Некоммутативная геометрия тесно связана с топологией. Инварианты Классси–Коннеля, которые обобщают понятие Чена–Симонс форм, находят выражение через некоммутативные аналоги интегралов:
$$ C_n = \frac{1}{n! (2\pi i)^n} \int \text{Tr} \big( (F \star F \star \dots \star F) \big), $$
где F — некоммутативная кривизна, выражаемая через звездные коммутаторы потенциальных операторов. Эти величины обеспечивают устойчивость топологических фаз и объясняют квантование проводимости в эффекте Холла.
В низкоразмерных системах, где проявляется спиновая орбитальная связь, НГ позволяет описывать эффект Дирака и Рашбы на плоскости. Электронный гамильтониан с учетом некоммутативности координат принимает вид:
$$ H = \frac{1}{2m} (\hat{p}_i - e \hat{A}_i)^2 + \lambda (\sigma_x \hat{p}_y - \sigma_y \hat{p}_x), $$
где Âi — некоммутативный векторный потенциал. Здесь звездная продукция используется для вычисления коррекций к энергетическим спектрам и топологическим числам, влияющим на спиновую проводимость.
Некоммутативные подходы позволяют строить эффективные теории квантовых жидкостей, таких как дробный квантовый эффект Холла. Здесь эффективная теория Чена–Симонс с некоммутативными координатами описывает квазичастицы с дробным зарядом и статистикой:
$$ \mathcal{L}_{\text{eff}} = \frac{\kappa}{4\pi} \epsilon^{\mu\nu\lambda} \hat{a}_\mu \star \partial_\nu \hat{a}_\lambda + \hat{j}^\mu \star \hat{a}_\mu, $$
что обеспечивает топологическую устойчивость состояния и дискретность проводимости.
НГ применяется и для моделирования дискретных систем, где симметрия решётки вводит эффективную некоммутативность между валентными и проводящими полосами. Такой подход позволяет описывать топологические изоляторы, в которых границы системы поддерживают защищённые состояния, а bulk-состояния остаются изолированными. Математически это выражается через алгебры операторов, удовлетворяющие конечномерным некоммутативным соотношениям.
Некоммутативные методы открывают новые пути для исследования топологических свойств вещества, обеспечивая математически строгую основу для квантовых феноменов, которые невозможно описать классической геометрией.