В контексте топологических состояний вещества под параллельными состояниями понимают квантовые фазы, которые обладают одинаковыми локальными характеристиками (например, симметриями и типом возбуждений), но различаются своей топологической структурой. Такие состояния невозможно связать между собой плавным деформационным преобразованием гамильтониана без закрытия энергетической щели. При этом они могут быть описаны разными топологическими инвариантами или отличаться глобальными свойствами, такими как вырождение на многообразиях с ненулевой родовой характеристикой.
Примером параллельных фаз являются различные топологические порядки в квантовой жидкости при эффекте Холла, которые для фиксированного дробного заполнения могут демонстрировать разные варианты корреляций между электронами. Эти состояния невозможно различить на основе локальных наблюдаемых, но они демонстрируют разные схемы фракционной статистики квазичастиц.
Важнейшей характеристикой параллельных состояний является наличие топологической вырожденности спектра на поверхностях с нетривиальной топологией (например, на торе). Эта вырожденность не обусловлена симметрией в обычном смысле, а закреплена глобальной структурой волновой функции. Таким образом, наличие нескольких параллельных состояний проявляется в зависимости от топологии пространства, на котором рассматривается система.
Для дробного квантового эффекта Холла (ДКЭХ) на заполнении ν = 1/3 параллельные состояния можно проиллюстрировать через различия в реализации так называемых абелианских и неабелианских жидкостей. Хотя оба класса демонстрируют одинаковую плотность и квантованные проводимости, спектр возбуждений и правила статистики квазичастиц различаются.
Фракционная статистика проявляется при обмене двух квазичастиц: фаза волновой функции изменяется не только на ±π (как для фермионов или бозонов), а на произвольную величину, кратную рациональной доле 2π. Такие объекты получили название anyon’ов (анионов).
В параллельных состояниях система квазичастиц может подчиняться различным законам статистики, даже если глобальные физические параметры — плотность носителей, магнитное поле, энергия щели — совпадают. Отличие проявляется именно в структуре топологического порядка.
Таким образом, разные параллельные состояния соответствуют различным алгебрам анионных возбуждений, что делает их физически неэквивалентными.
Параллельность фаз тесно связана с концепцией топологического порядка, который описывается не локальными симметриями, а алгебраическими свойствами операторов, создающих квазичастицы. Эта структура фиксируется матрицами статистического взаимодействия и S-матрицами обменных процессов.
Для описания фракционной статистики используется:
Разные параллельные состояния имеют одинаковый набор квантовых чисел для частиц (например, одинаковую дробную зарядовую квантизацию), но отличаются структурой S и T матриц.
Фракционная статистика и различие параллельных фаз могут быть исследованы через интерференционные эксперименты. В интерферометрах типа Маха–Цендера или Фабри–Перо наблюдается влияние траекторий анионов на квантовую фазу электронов. При этом:
Различие параллельных состояний отражается в характере интерференционных картин: одни проявляют регулярный фазовый сдвиг, другие — стохастические осцилляции.
Параллельные состояния и фракционная статистика указывают на глубокую многослойность топологических фаз. Две системы, неразличимые на уровне транспортных измерений, могут обладать совершенно разными схемами статистических взаимодействий. Это открывает возможности для квантовых технологий: