Периодически управляемые квантовые системы

Периодически управляемые квантовые системы (так называемые системы Флоке) представляют собой класс объектов, в которых гамильтониан зависит от времени с определённой периодичностью:

$$ H(t+T) = H(t), \quad T = \frac{2\pi}{\Omega}. $$

Здесь T — период внешнего воздействия, а Ω — соответствующая частота. Такая ситуация возникает, например, при облучении материала когерентным лазерным полем, при действии периодически меняющегося электрического или магнитного потенциала, а также в холодных атомных решётках с модулируемыми параметрами ловушки.

Ключевая особенность этих систем состоит в том, что несмотря на их нестационарность, к ним применим аналог теоремы Блоха, но в временной области. Это позволяет ввести понятие квазиинергий и описывать состояние системы через флоке-спектр, аналогично тому, как в пространственно-периодических кристаллах вводится зонная структура.

Теорема Флоке и квазисостояния

Согласно теореме Флоке, решение уравнения Шрёдингера для периодического гамильтониана имеет вид:

|ψα(t)⟩ = e−iϵαt|ϕα(t)⟩,

где |ϕα(t)⟩ — периодическая функция времени с тем же периодом T, а ϵα — квазиинергия.

Таким образом, спектр флоке-систем определяется не только свойствами статического гамильтониана, но и параметрами внешнего периодического воздействия. При этом квазиинергии определяются модулем частоты Ω:

ϵα ≡ ϵα + nΩ,  n ∈ ℤ.

Это приводит к тому, что спектр обладает зонной структурой, напоминающей энергетические зоны электронов в кристаллах.

Эффективный гамильтониан

Для анализа таких систем часто вводят так называемый эффективный гамильтониан:

$$ H_{\text{eff}} = \frac{i}{T} \ln U(T), $$

где U(T) — эволюционный оператор за период.

В пределе высоких частот Ω → ∞ эффективный гамильтониан можно получить с помощью разложения по обратным степеням частоты (метод Магнуса или высокочастотное разложение). В этом случае периодическое воздействие “усредняется”, а система описывается статическим эффективным гамильтонианом.

Наоборот, в режиме промежуточных или низких частот возможны более сложные эффекты: появление резонансов, возбуждение между различными зонами квазиинергий, а также формирование новых топологических фаз, которых не существует в статических системах.

Топологические аспекты

Периодическое управление позволяет индуцировать топологические состояния, не встречающиеся в равновесных материалах. Это явление получило название флоке-топология.

  • Флоке-топологические изоляторы: при облучении лазерным полем обычный изолятор может перейти в состояние с защищёнными краевыми модами, аналогичными краевым состояниям топологического изолятора.
  • Аномальные топологические фазы: в некоторых случаях квазиинергетический спектр может содержать топологически защищённые краевые состояния при том, что эффективный гамильтониан в равновесии не обладает топологическим порядком.
  • Динамические фазовые переходы: изменение частоты или амплитуды внешнего поля может приводить к смене топологического инварианта, например числа Черна, что сопровождается перестройкой зонной структуры квазиинергий.

Примеры физических реализаций

  1. Твёрдотельные системы: графен, топологические изоляторы и полуметаллы при облучении интенсивным лазерным светом. В этих системах формируются новые зоны Дирака и открываются щели с нетривиальной топологией.

  2. Холодные атомы в оптических решётках: за счёт периодического модулирования глубины потенциала или фаз решётки можно реализовать эффективные модели Хофштадтера, Кане–Меле и Халдейна.

  3. Сверхпроводники и гибридные структуры: периодическое воздействие позволяет индуцировать состояния с майорановскими модами, недостижимые в статических условиях.

Роль диссипации и неравновесной динамики

Реальные флоке-системы не являются полностью изолированными: они взаимодействуют с окружающей средой. Это приводит к накоплению энергии и необходимости учитывать баланс между накачкой и релаксацией.

  • При сильной диссипации система может достичь неравновесного стационарного состояния, в котором сохраняются топологические характеристики квазисостояний.
  • При слабой диссипации возможен рост температуры, что разрушает топологический порядок.

Таким образом, устойчивость флоке-топологических фаз зависит от механизмов релаксации и типа взаимодействий.

Экспериментальные наблюдения

В последние годы получены первые убедительные подтверждения существования флоке-топологических фаз:

  • наблюдение светом индуцированных топологических краевых состояний в графене;
  • формирование аномальных зон в сверхпроводниках под воздействием микроволнового излучения;
  • реализация топологического насоса Туоллеса в оптических решётках с периодическим управлением.

Эти эксперименты демонстрируют, что периодическое управление открывает новый путь к созданию искусственных квантовых материалов с заданными свойствами.

Оглавление