В топологической квантовой теории информации центральное место занимает представление вычислительных операций через плетение квазичастиц, обладающих неабелевой статистикой. Такие квазичастицы, например, майорановские нулевые моды или более экзотические неабелевы анионы, характеризуются тем, что их взаимное обхождение (braiding) не сводится к простой фазовой перестановке волновой функции, как в случае фермионов или бозонов. Вместо этого система переходит из одного квантового состояния в другое в пространстве вырожденных уровней, формируя матрицы преобразований, зависящие только от топологического класса траектории.
Таким образом, плетение реализует унитарные операции, устойчивые к локальным возмущениям, поскольку сами преобразования определяются лишь топологией пути, а не деталями динамики. Это свойство делает их фундаментально защищёнными от ошибок и привлекает внимание к ним как к механизму построения топологических квантовых компьютеров.
Если в системе существует $2N$ майорановских мод $_1, _2, , _{2N}$, то они образуют пространство вырожденности размерности $2^N$. Плетение соседних мод $_i$ и $_{i+1}$ описывается оператором вида:
$$ U_{i,i+1} = \exp\left(\frac{\pi}{4}\gamma_i \gamma_{i+1}\right), $$
который действует как недиагональное преобразование в соответствующем базисе. Эти матрицы не сводятся к простым фазовым множителям, а задают нетривиальные элементы группы представлений косы (braid group).
Таким образом, фундаментальное свойство плетения — это реализация недиагональных унитарных преобразований, которые перестраивают структуру квантовой информации внутри вырожденного подпространства.
Несмотря на устойчивость и универсальность в некоторых моделях, не все наборы анионов допускают построение универсального квантового вычислителя лишь средствами плетения. Например, майорановские моды реализуют только подгруппу клиффордовых операций, которые сами по себе не являются универсальными. Для получения полной универсальности необходимо дополнить топологические ворота дополнительными процессами:
Это означает, что плетение — фундаментальный, но не исчерпывающий инструмент для построения топологического квантового компьютера.
Под недиагональными воротами понимаются такие операции, которые в базисе топологической вырожденности не сводятся к фазовым диагональным матрицам, а содержат переходы между различными состояниями. В отличие от обычных абелевых статистик, где каждая перестановка сопровождается лишь фазой $e^{i}$, неабелевы анионы позволяют осуществлять преобразования вида:
$$ U \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \end{pmatrix}, $$
где $a,b,c,d$ зависят от структуры анионной модели.
Примером является система фибоначчиевых анионов, в которой набор плетений уже обеспечивает универсальный набор недиагональных ворот для квантовых вычислений. В случае майорановской платформы требуется введение дополнительных процедур для генерации недиагональных операций за пределами клиффордовой группы.
Все описанные преобразования математически укоренены в группе кос $B_n$, где $n$ соответствует числу анионов. Каждый элемент группы описывает топологический класс переплетения траекторий. В отличие от абелевых статистик, где представления $B_n$ одномерны, для неабелевых анионов они становятся многомерными, что и обеспечивает возможность недиагональных операций.
Таким образом, каждая унитарная матрица, реализуемая в топологическом квантовом компьютере, сопоставляется определённой косе. Эта связь делает плетение естественным языком для описания недиагональных ворот.
Особая ценность недиагональных ворот заключается в том, что они обеспечивают переплетение информации между различными состояниями, что позволяет строить квантовые алгоритмы с богатой структурой. Топологическая защита гарантирует устойчивость к локальным шумам, однако именно недиагональность делает операции вычислительно нетривиальными.
Набор диагональных фазовых преобразований недостаточен: они сохраняют структуру базиса и не обеспечивают универсальности. Лишь комбинация диагональных и недиагональных ворот, основанных на плетении или дополненных вспомогательными процессами, открывает путь к построению полноценных квантовых вычислительных схем.