Одной из центральных задач квантовых вычислений является обеспечение устойчивости квантовой информации к шуму и ошибкам. В отличие от классических систем, где ошибка может быть устранена простым дублированием битов, в квантовой системе суперпозиция и запутанность не позволяют напрямую копировать состояние. В этой ситуации на первый план выходят топологические методы исправления ошибок, среди которых ключевую роль играют поверхностные коды.
Поверхностный код — это квантовый код, основанный на двумерной решетке спинов (кубитов), организованных таким образом, что логические операции зависят не от локальных состояний отдельных кубитов, а от глобальной топологической структуры системы. Такой подход обеспечивает естественную защиту от локальных возмущений, поскольку локальные ошибки не способны изменить топологический инвариант.
Решетка и размещение кубитов. Кубиты располагаются на рёбрах двумерной квадратной решетки. Каждое лицо решетки ассоциировано с оператором стабилизатора типа «звезда» (звездные операторы действуют на кубиты вокруг вершины) или типа «плакет» (плакетные операторы действуют на кубиты вокруг ячейки). Эти операторы образуют коммутирующую группу стабилизаторов, определяющую кодовое пространство.
Стабилизаторы.
Собственные значения стабилизаторов равны ±1. Кодовое пространство задаётся состояниями, в которых все стабилизаторы имеют собственное значение +1.
Логические кубиты. Логическая информация кодируется в нетривиальных топологических петлях операторов X или Z, которые огибают всю решетку. Эти петли не могут быть деформированы в локальные комбинации стабилизаторов и, следовательно, представляют собой устойчивые логические операторы.
В системе могут возникать два основных типа ошибок:
Ошибки проявляются как нарушение условия стабилизаторов:
Таким образом, ошибки можно интерпретировать как появление «дефектов» на решетке: локальные нарушения проявляются парами в точках, где ошибка входит в систему и выходит из неё.
Синдромы ошибок. Для обнаружения ошибок проводится измерение стабилизаторов. Если результат равен +1, стабилизатор не нарушен. Если результат равен -1, зафиксирован дефект. Совокупность всех измеренных значений образует так называемый синдром ошибки.
Интерпретация синдрома. Появление дефектов указывает на цепочку ошибок, соединяющую их. Задача исправления заключается в нахождении наиболее вероятного пути между дефектами и применении соответствующих обратных операторов Паули.
Алгоритмы декодирования.
Границы решетки. Для физической реализации поверхностных кодов необходимо ограничить решетку конечным числом кубитов. В зависимости от типа границ, логические операторы будут иметь различную топологическую природу. Выделяют два типа границ:
Наличие различных границ позволяет кодировать в системе больше одного логического кубита.
Генерализации на другие поверхности. Поверхностные коды могут строиться не только на плоскости, но и на топологически нетривиальных многообразиях, например, на торе. В этом случае число логических кубитов определяется родом поверхности.
Главное преимущество поверхностных кодов заключается в том, что вероятность логической ошибки экспоненциально падает с увеличением размера решетки. Локальные ошибки могут создавать только конечные цепочки дефектов, и лишь цепь, растянутая на весь размер системы, способна изменить логическую информацию.
Таким образом, чем больше решетка, тем выше степень топологической защиты. При этом сама процедура детектирования ошибок локальна: измерения стабилизаторов требуют лишь взаимодействия ближайших кубитов, что делает поверхностный код практически реализуемым в современных архитектурах квантовых вычислителей.
Поверхностные коды тесно связаны с идеей топологического упорядочения в конденсированных средах. Их математическая структура аналогична модели торического кода Китаева, которая описывает систему с топологическим вырождением основного состояния и неабелевскими возбуждениями.
Квантовые ошибки в этом подходе можно трактовать как квазичастицы-возбуждения, которые создаются парами и могут перемещаться по решетке. Исправление ошибок соответствует процессу аннигиляции этих квазичастиц. Такой физический взгляд связывает теорию квантовых кодов с топологическими фазами материи, что делает поверхностные коды не только инженерным, но и фундаментальным объектом исследования в физике.