В топологических изоляторах поверхность играет особую роль. В отличие от обычных изоляторов, где поверхностные состояния отсутствуют или локализованы, топологические изоляторы обладают защищёнными поверхностными состояниями, которые возникают из-за топологических свойств объемного банда. Эти состояния неразрывно связаны с инвариантами топологии, такими как ℤ2-инвариант в трёхмерных топологических изоляторах.
Поверхностные состояния характеризуются следующими особенностями:
Конус Дирака — это точка в зоне Бриллюэна, где пересекаются валентная и проводящая полосы при линейной зависимости энергии от импульса:
E(k) ≈ ℏvF|k|,
где vF — скорость Ферми, k — квазимомент.
Ключевые свойства конусов Дирака:
S ⟂ k.
Для описания поверхностных состояний топологического изолятора часто используется гамильтониан Дирака в двумерном приближении:
Hsurf = ℏvF(σxky − σykx),
где σx, y — матрицы Паули, описывающие спин, а kx, y — компоненты квазимомента.
Собственные состояния гамильтониана:
$$ \psi_\pm(\mathbf{k}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ \pm i e^{i \phi_\mathbf{k}} \end{pmatrix}, \quad E_\pm(\mathbf{k}) = \pm \hbar v_F |\mathbf{k}|, $$
где ϕk = arctan (ky/kx).
Эта структура демонстрирует двойную вырожденность Дирака, где нижняя и верхняя ветви соответствуют состояниям с противоположными хиральностями.
Магнитное поле: Нарушает симметрию времени и разрывает конус Дирака, открывая энерговой разрыв на поверхности. В этом случае появляются массовые Дираковские фермионы с открытой щелью:
$$ E_\pm(\mathbf{k}) = \pm \sqrt{(\hbar v_F k)^2 + (\Delta/2)^2}, $$
где Δ — индуцированная магнитным полем щель.
Электрическое поле и допирование: Сдвигают положение точки Дирака относительно энергии Ферми, изменяя плотность поверхностных электронов, но не разрушают топологическую защиту при сохранении симметрии времени.
Интерфейсы с другими материалами: Взаимодействие с обычными металлами или сверхпроводниками приводит к появлению экзотических квазичастиц на границе, включая майорановские моды в случае суперпроводящей прокладки.