В теории топологических состояний вещества понятие расслоения играет фундаментальную роль. Расслоение $E \xrightarrow{\pi} B$ — это пространство E (общее пространство), над базовым пространством B, такое что локально оно выглядит как прямое произведение U × F, где U ⊂ B — открытое множество, а F — стандартное волокно. В физике это позволяет описывать локальные степени свободы системы, связанные с внешними параметрами, например, магнитным полем или кристаллической симметрией.
Ключевой момент: локальная тривиализация расслоения не обязательно сохраняется глобально. Глобальная структура может быть нетривиальной, что приводит к появлению топологических инвариантов.
Физические системы с расслоениями часто характеризуются топологическими числами, которые не зависят от гладких деформаций Hamiltonian’а системы. Например, в двумерной электронной газовой системе топологический заряд может быть выражен через интеграл кривизны Бери:
$$ C = \frac{1}{2\pi} \int_{\text{BZ}} \Omega(\mathbf{k})\, d^2k, $$
где Ω(k) — поле кривизны Бери в зоне Бриллюэна.
Связность пространства определяет, как локальные свойства системы распространяются на глобальные. Для физической системы это проявляется через устойчивость топологических состояний к локальным возмущениям.
Ключевой момент: именно через группы гомотопий можно формально определить устойчивость топологических состояний и наличие защищённых возбуждений.
Для кристаллических систем часто рассматриваются векторные расслоения, где волокно F — это векторное пространство. Примером является бэндовая структура электронов в твердых телах. Здесь каждая точка зоны Бриллюэна ассоциируется с собственными состояниями Гамильтониана. Объединяя все такие состояния над зоной Бриллюэна, получаем расслоение Фробениуса, которое описывает топологическую структуру энергетических полос.
Ключевой момент: структура расслоения напрямую определяет свойства поверхностных состояний системы. В случае нетривиального расслоения появляются устойчивые края с защищёнными состояниями, которые не исчезают при слабых возмущениях.
Топологические изоляторы: В трёхмерных топологических изоляторах расслоение электронных состояний характеризуется Z₂-инвариантом. Гомотопические свойства расслоения определяют существование защищённых поверхностных состояний, которые проявляются в виде спин-поляризованных поверхностных полос.
Квантовый эффект Холла: В двумерных электронных системах в сильном магнитном поле топологическая инвариантность расслоений приводит к квантованной проводимости, которая точно определяется целым числом — Chern-числом.
Скирмионы и текстуры спинов: В магнетиках с неоднородными спиновыми текстурами векторные расслоения описывают распределение спинов в пространстве. Топологическая классификация позволяет предсказывать устойчивость сколярных и векторных дефектов.
Топологические фазовые переходы связаны с изменением глобальной структуры расслоения при непрерывных изменениях параметров системы. В отличие от стандартных фазовых переходов, описываемых локальными порядками, здесь переход определяется изменением топологического числа:
ΔC ≠ 0
при переходе из одной фазы в другую. Такие переходы наблюдаются, например, при изменении магнитного поля или химического потенциала в квантовых системах.
Ключевой момент: топологические фазовые переходы характеризуются изменением глобальных свойств системы, а не локальных симметрий.
Физические системы часто подвергаются воздействию внешних полей — магнитных, электрических или механических. В рамках теории расслоений это проявляется через подключённость и кривизну волокон:
Fμν = ∂μAν − ∂νAμ + [Aμ, Aν],
где Aμ — подключение в расслоении. Поле кривизны Fμν отвечает за топологические эффекты, такие как анормальные Холловы токи и индуцированные магнитные монополи.
Расслоения и связности формируют фундаментальный язык для описания топологических состояний вещества. Они обеспечивают:
Эта структура объединяет разнообразные физические системы — от электронных бэндов и топологических изоляторов до спиновых текстур и квантовых жидкостей — в единое топологическое описание.