Симметрии и топологические классификации

Роль симметрий в топологических фазах

В современной физике конденсированного состояния вещества симметрии играют фундаментальную роль в классификации и предсказании топологических фаз. Симметрия системы определяет возможные инварианты, которые характеризуют топологическое состояние, и, как следствие, свойства граничных состояний. Основные типы симметрий включают:

  • Трансляционную симметрию, определяющую периодичность кристаллической решетки и позволяющую вводить зонную структуру энергии.
  • Временную симметрию (T), ответственную за сохранение уравнений движения при реверсе времени. Для фермионных систем важна антикоммутирующая природа временной симметрии: T2 = ±1.
  • Частичную или полную пространственную симметрию (P), включающую инверсию координат.
  • Частицу-дырку симметрию (C), присущую суперпроводящим системам и описывающую связь между состояниями с энергией E и −E.
  • Смешанную симметрию (S = TC), называемую “субсистемной” или “смешанной”, которая комбинирует вышеуказанные преобразования.

Каждая из этих симметрий накладывает ограничения на возможные формы гамильтониана и на структуру собственных состояний. С их помощью можно построить симметрийно-защищенные топологические фазы (Symmetry Protected Topological phases, SPT), которые остаются устойчивыми против возмущений, сохраняющих соответствующую симметрию.

Классификация по 10-ти симметрийным классам

Важным инструментом топологической классификации является таблица “10 классов ВАЦ” (Altland-Zirnbauer), основанная на наличии или отсутствии T, C и S симметрий. Каждый класс характеризуется топологическими инвариантами, которые могут быть целыми числами (ℤ), двухзначными (ℤ2) или тривиальными (0).

Пример ключевых классов:

  1. Класс A: отсутствие всех дискретных симметрий. Пример: двумерный электронный газ в сильном магнитном поле (эффект Холла). Топологический инвариант — целочисленный Чёрновский индекс.
  2. Класс AII: присутствует временная симметрия T2 = −1, отсутствует C. Пример: 3D топологический изолятор с сильным спин–орбитальным взаимодействием. Топологический инвариант — ℤ2.
  3. Класс D: присутствует частица-дырка симметрия C2 = +1, отсутствует T. Пример: одномерный топологический суперпроводник с Майорановскими модами на концах. Топологический инвариант — ℤ2.

Таблица 10 классов позволяет предсказывать существование устойчивых граничных состояний и характер возмущений, которые не разрушают топологию.

Инварианты и их вычисление

Топологические инварианты — это количественные характеристики, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях гамильтониана, сохраняющих симметрии. Основные методы определения инвариантов включают:

  • Интеграл Чёрна: для двумерных систем без временной симметрии,

$$ C = \frac{1}{2\pi} \int_{\text{BZ}} F_{xy}(\mathbf{k}) \, d^2k, $$

где Fxy(k) = ∂kxAy − ∂kyAx — кривизна Берри, а Aμ(k) — вектор Потери-Белла или связь Берри.

  • ℤ2-инварианты: для систем с временной симметрией. Их можно вычислять через паритетные значения состояний на особых точках зоны Бриллюэна:

$$ (-1)^\nu = \prod_{i=1}^{N_{\text{TRIM}}} \delta_i, \quad \delta_i = \prod_{n=1}^{N_{\text{occ}}} \xi_{2n}(\Gamma_i), $$

где ξ2n — паритетные собственные значения заполненных состояний.

  • Вычисление индекса Майораны: для одномерных суперпроводников. Инвариант выражается через знак детерминанта матрицы гамильтониана в краевых точках зоны.

Эти методы позволяют строго классифицировать топологические фазы, выявляя устойчивые граничные моды и аномалии.

Роль пространственных симметрий и топологические кристаллические изоляторы

Помимо внутренней симметрии, пространственные симметрии кристалла (зеркальные, ротационные, скользящие) обогащают классификацию топологических фаз. Это приводит к появлению:

  • Топологических кристаллических изоляторов (TCI), которые поддерживают граничные состояния только на определенных поверхностях или краях.
  • Групповые инварианты, зависящие от действий пространственных операций на волновых функциях, например, зеркальная Чёрновская формула.

Пространственные симметрии позволяют строить новые виды топологических инвариантов, которые не сводятся к стандартным ℤ или ℤ2 инвариантам внутренней симметрии.

Фазовые диаграммы и топологические переходы

Топологические переходы происходят при изменении параметров гамильтониана, когда энергетический разрыв замыкается и открывается снова, сопровождаясь изменением топологического инварианта. Эти переходы отличаются от обычных фазовых переходов:

  • Не сопровождаются нарушением симметрии.
  • Связаны с аномалиями на границе.
  • Могут происходить в дискретных точках Бриллюэновской зоны или по всей зоне.

Ключевой характеристикой является устойчивость топологического состояния: при сохранении симметрий и разрыва энергетического спектра, состояние неразрушаемо под малыми возмущениями.

Сводная картина классификации

  • Внутренние симметрии (T, C, S) → 10 классов ВАЦ → ℤ, ℤ2, 0 инварианты.
  • Пространственные симметрии → топологические кристаллические фазы → зеркальные, ротационные инварианты.
  • Методы вычисления → интегралы кривизны Берри, паритетные значения, индексы Майораны.
  • Граничные состояния → прямое следствие топологического инварианта, защищенного симметрией.
  • Топологические переходы → изменение инварианта при замыкании спектрального разрыва без нарушения симметрий.

Такой подход формирует современную теоретическую основу для классификации топологических состояний вещества, объединяя внутренние и пространственные симметрии, методы вычисления инвариантов и прогнозирование экспериментальных наблюдаемых эффектов.

Оглавление