В квантовой теории поля аномалиями называют ситуации, когда классическая симметрия системы не сохраняется после квантования. В отличие от чисто калибровочных или чисто гравитационных аномалий, смешанные аномалии возникают при одновременном взаимодействии нескольких типов симметрий, например, глобальных калибровочных и гравитационных. Это означает, что ток, связанный с одной симметрией, не может быть полностью сохранён без учёта эффектов другой.
Формально, смешанная аномалия проявляется как нарушение дивергенции тока:
$$ \nabla_\mu J^\mu \sim \frac{1}{32\pi^2} \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \text{Tr}(F_{\mu\nu}R_{\rho\sigma}), $$
где Fμν — тензор калибровочного поля, а Rρσ — кривизна риманова многообразия. Такая структура указывает на взаимосвязь калибровочной и геометрической динамики.
Смешанные аномалии служат индикаторами того, что система не может быть описана в рамках полностью локальной и согласованной квантовой теории поля, если игнорировать топологические вклады. Они являются инвариантами топологического порядка и часто определяют возможность реализации определённых фаз вещества.
Например, в конденсированных средах наличие смешанной аномалии может означать, что границы системы обязаны содержать безмассовые моды или топологически защищённые состояния. Тем самым аномалия «переносится» на поверхность, реализуя принцип анomaly inflow (приток аномалии).
Ключевой механизм объяснения устойчивости смешанных аномалий связан с представлением о притоке аномалии. Идея заключается в том, что аномалия на границе (например, нарушение сохранения тока) компенсируется топологическим членом в действии объёмной теории.
Примером служит член Черна–Саймонса в трёх измерениях, возникающий как поверхностный термин для четырёхмерного топологического инварианта:
$$ S_{\text{CS}} = \frac{k}{4\pi} \int \text{Tr}\left(A \wedge dA + \tfrac{2}{3} A \wedge A \wedge A \right). $$
Такое действие не является инвариантным относительно калибровочных преобразований в присутствии границы, однако это нарушение точно компенсирует аномалию токов на самой границе.
Топологические термины в функционале действия отражают глобальные свойства системы и не влияют напрямую на локальную динамику уравнений движения. Они определяются только топологическим классом конфигурации полей.
Наиболее известные примеры:
$$ S_\theta = \frac{\theta}{32 \pi^2} \int d^4x \, \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} F_{\mu\nu} F_{\rho\sigma}, $$
который описывает топологическую структуру вакуума и напрямую связан с эффектами нарушения CP-симметрии.
$$ S_{\theta,g} = \frac{\theta_g}{192 \pi^2} \int \text{Tr}(R \wedge R), $$
характеризующий топологию кривизны пространства-времени и вносящий вклад в смешанные аномалии.
В физике конденсированных сред смешанные аномалии и топологические термины обеспечивают теоретическое основание для существования и устойчивости топологических фаз. Так, трёхмерные топологические изоляторы описываются электромагнитным тета-термином с фиксированным значением θ = π, что гарантирует наличие на поверхности защищённых безмассовых фермионных мод.
Фракционные топологические изоляторы и сверхпроводники содержат более сложные структуры, в которых смешанные аномалии реализуются как ограничение на возможные квазичастицы и их статистику. Такие системы демонстрируют аномальную квантовую проводимость, неустранимую в рамках локальной теории без учёта топологических членов.
Математически смешанные аномалии выражаются через характеристические классы и топологические инварианты многообразий: классы Черна, класс Понтрягина и их комбинации. Топологические термины в действии возникают из интегралов этих характеристик по многообразию, задающему пространство-время системы.
Алгебраически они интерпретируются как когомологические обструкции: невозможность реализовать симметрию глобально без добавления дополнительных структур. В контексте конденсированных фаз это означает, что сама топология системы накладывает неизбежные квантовые условия.