Смеющиеся состояния и иерархия Холла

Фракционные квантовые эффекты Холла представляют собой один из центральных примеров топологических состояний вещества, в которых взаимодействия электронов приводят к образованию коллективных квантованных состояний с дробными значениями проводимости. Эти состояния демонстрируют фундаментальные отличия от целочисленного квантового эффекта Холла, где топология проявляется уже на уровне неинтерактивных электронов в сильном магнитном поле.

1. Основы фракционных квантовых состояний Холла

Фракционный квантовый эффект Холла (FQHE) возникает при низких температурах и сильных магнитных полях в двумерных электронных системах. Основная характеристика FQHE — наблюдение точек, где поперечная проводимость σₓᵧ принимает дробные значения в единицах e2/h:

$$ \sigma_{xy} = \nu \frac{e^2}{h}, \quad \nu = \frac{p}{q}, \quad p, q \in \mathbb{Z}, \ q \ \text{нечетное}. $$

Здесь ν — коэффициент заполнения Ландау-уровней, e — заряд электрона, h — постоянная Планка.

Ключевой особенностью FQHE является коллективное спаривание электронов в корелированные состояния, описываемое волновыми функциями Лау (Laughlin wave functions):

Ψm(z1, z2, ..., zN) = ∏i < j(zi − zj)mexp ( − ∑k|zk|2/4lB2),

где m — нечетное целое, zk = xk + iyk — комплексное представление координат электрона, а $l_B = \sqrt{\hbar/(eB)}$ — магнитный радиус.

Ключевой момент: состояния Лау минимизируют кулоновскую энергию системы за счет корреляций между электронами, что делает их фундаментально различными от свободных электронов в целочисленном квантовом эффекте Холла.

2. Иерархия Холла

Появление дробных состояний не ограничивается только простыми дробями 1/3, 1/5. Система может формировать более сложные иерархические фракционные состояния. Идея иерархии, предложенная Халперином, заключается в следующем:

  1. Основное фракционное состояние формируется по Лау (например, ν = 1/3).
  2. Квазичастицы этого состояния, являясь носителями дробного заряда, могут сами образовывать конденсированное состояние, создавая новую «подиерархию» дробных коэффициентов заполнения.

Математически это выражается через последовательность дробей:

$$ \nu = \frac{p_0}{q_0 + \frac{p_1}{q_1 + \frac{p_2}{q_2 + \dots}}}. $$

Ключевой момент: каждая ступень иерархии соответствует новому коллективному состоянию квазичастиц, которые сами обладают топологическими свойствами, включая дробный заряд и статистику анизонов.

3. Дробный заряд и анизонная статистика

Фракционные состояния Холла характеризуются не только дробной проводимостью, но и дробным электрическим зарядом квазичастиц. Для состояния Лау с коэффициентом заполнения ν = 1/m:

$$ q^* = \frac{e}{m}. $$

Эти квазичастицы проявляют аномальную статистику — анизонную, которая находится между фермионами и бозонами. При обмене двух анизонов волновая функция приобретает фазовый множитель:

Ψ → eiθΨ,  θ = π/m.

Ключевой момент: анизоны являются фундаментальными носителями топологической информации и формируют основу современных идей топологического квантового вычисления.

4. Лидеры экспериментальных наблюдений

Экспериментально фракционный квантовый эффект Холла наблюдается через:

  • Шаги в зависимости поперечной проводимости от магнитного поля при фиксированной плотности электронов.
  • Дробный заряд квазичастиц, измеряемый через шум Шоттки в туннельных контактах.
  • Интерферометрические эксперименты для выявления анизонной статистики.

Ключевой момент: обнаружение дробного заряда и анизонов подтверждает коллективную природу этих состояний и топологический характер иерархии.

5. Теоретические модели и описание

Для построения иерархических состояний используют:

  • Модель Халперина-Хиршфельда — формализм для последовательного образования квазичастиц, включающих конденсат второго уровня.
  • Chern-Simons теория поля — эффективная теория, описывающая топологическую природу фракционных состояний через связь между токами и калибровочным полем.
  • Composite fermion approach (Животовский-Жу) — идея, что электроны захватывают четное число магнитных флюкс-квантов, превращаясь в «составные фермионы», которые образуют целочисленные квантовые состояния Холла в эффективном магнитном поле.

Ключевой момент: эти подходы дают согласованное объяснение как существования фракционных значений ν, так и динамики квазичастиц.

6. Значение для топологии и современных исследований

Фракционные состояния Холла представляют собой классический пример топологического порядка, где:

  • Наличие топологических инвариантов определяет квантизированные значения проводимости.
  • Локальные возмущения не разрушают топологическое состояние.
  • Существуют экзотические возмущения, такие как анизоны, используемые в квантовых вычислениях.

Исследование иерархии Холла стимулировало развитие топологических квантовых вычислений, теории топологических фаз с дробными возбуждениями и понимание коррелированных электронных систем.

Оглавление