Связность Берри — фундаментальное понятие в современной квантовой теории, описывающее фазовую структуру волновых функций при их параллельном переносе в параметрическом пространстве. Рассмотрим семейство гамильтонианов H(R), зависящих от непрерывного набора параметров R = (R1, R2, …). Пусть |n(R)⟩ — собственное состояние с энергией En(R).
Определение связности Берри:
An(R) = i⟨n(R)|∇R|n(R)⟩
Эта векторная функция в параметрическом пространстве называется связностью Берри (или векторным потенциалом Берри). Она характеризует накопление геометрической фазы при перемещении квантового состояния по траектории C:
γn(C) = ∮CAn(R) ⋅ dR.
Ключевым моментом является то, что связность Берри зависит от выбора фазы состояния |n(R)⟩ (гейдж), но наблюдаемая геометрическая фаза γn(C) инвариантна относительно гейдж-преобразований, что делает её физически значимой величиной.
Кривизна Берри — аналог магнитного поля для векторного потенциала An, определяется как ротор связности:
Fn(R) = ∇R × An(R).
Она характеризует локальное “скручивание” фазового пространства квантовых состояний. В двумерном параметрическом пространстве (R1, R2) кривизна Берри становится скалярной величиной:
Fn(R1, R2) = ∂R1An, 2 − ∂R2An, 1.
Физический смысл кривизны Берри проявляется в том, что интеграл кривизны по замкнутой поверхности S в параметрическом пространстве равен геометрической фазе по границе:
γn(C) = ∮∂SAn ⋅ dR = ∬SFn(R) dS.
Это соотношение напрямую связывает локальные свойства волновых функций с глобальными топологическими инвариантами.
1. Квантовый Холл эффект:
В двухмерных электронных системах под действием сильного магнитного поля кривизна Берри интегрируется по всей зоне Бриллюэна, давая число Чёрна, которое определяет величину квантуемой проводимости Холла:
$$ \sigma_{xy} = \frac{e^2}{h} \sum_n C_n, \quad C_n = \frac{1}{2\pi} \iint_{\text{BZ}} F_n(\mathbf{k}) \, d^2k. $$
Здесь Cn — топологический инвариант, целое число, полностью определяющее квантование физической величины.
2. Топологические изоляторы:
В трёхмерных системах со спин-орбитальным взаимодействием кривизна Берри связана с Z₂-инвариантами. Их интеграл по поверхности Ферми позволяет классифицировать материалы как топологические или нетопологические, предсказывая наличие защищённых поверхностных состояний.
3. Динамика спинов:
Для спиновых систем в переменных магнитных полях геометрическая фаза Берри влияет на предсказание переходов между уровнями и на поведение макроскопических ансамблей спинов, проявляясь через эффективные магнитные поля, генерируемые кривизной.
При медленном изменении параметров гамильтониана состояние системы остаётся в своём энергетическом уровне, накапливая динамическую и геометрическую фазу:
$$ |\psi_n(t)\rangle = e^{i\theta_n(t)} |n(\mathbf{R}(t))\rangle, \quad \theta_n(t) = -\frac{1}{\hbar} \int_0^t E_n(\mathbf{R}(t')) dt' + \gamma_n(C). $$
Геометрическая фаза γn(C) полностью определяется связностью Берри и её кривизной. Этот факт является ключевым для всех топологических эффектов в адiabатических процессах.
Кривизна Берри позволяет ввести глобальные топологические инварианты:
$$ C_n = \frac{1}{2\pi} \iint_{\text{BZ}} F_n(\mathbf{k}) \, d^2k. $$
πn(U(N)) ∼ ℤ, n зависит от размерности и симметрии.
Эти инварианты характеризуют устойчивость топологических состояний к непрерывным деформациям, нарушениям симметрии и локальным возмущениям.
В пространствах с размерностью больше двух кривизна Берри становится тензорной величиной:
Fn, ij = ∂RiAn, j − ∂RjAn, i.
Интегралы этого тензора по многомерным поверхностям задают высшие инварианты Черна, играющие роль в описании 4D квантовых Холл эффектов и сложных топологических фаз.
$$ F(\mathbf{k}) = \frac{1}{2} \hat{\mathbf{d}} \cdot \left(\frac{\partial \hat{\mathbf{d}}}{\partial k_x} \times \frac{\partial \hat{\mathbf{d}}}{\partial k_y}\right), \quad \hat{\mathbf{d}} = \frac{\mathbf{d}}{|\mathbf{d}|}. $$