Топологические изоляторы второго порядка (SOTI) представляют собой класс топологических фаз, которые обобщают свойства обычных топологических изоляторов (ТО). В отличие от обычных ТО, где топологические пограничные состояния локализуются на границах одного порядка (границы размерности d − 1 в пространстве размерности d), SOTI проявляют свои характерные состояния на границах более высокого порядка: углах в двумерных системах и ребрах в трёхмерных кристаллах.
Математически SOTI описываются через инварианты высшего порядка, которые могут быть выражены через обобщённые формы Берри и симметрические индексы, учитывающие пространственные симметрии кристалла. Для двумерной системы с четырёхкратной симметрией C4 можно определить индекс:
$$ \nu_{\text{corner}} = \frac{1}{4} \sum_{i=1}^{4} \text{Tr} \, [\hat{R}_i P(\mathbf{k}_i)], $$
где R̂i — оператор вращения, а P(ki) — проекционный оператор на заполненные состояния в специальных точках Бриллюэна. Ненулевой индекс νcorner указывает на наличие угловых состояний.
В SOTI обычные поверхностные состояния могут отсутствовать: границы первого порядка (например, края двумерного кристалла) могут быть полностью изолирующими, а топологические состояния проявляются только в углах или на ребрах. Это делает SOTI уникальными с точки зрения транспортных свойств: электронный ток может течь только вдоль нулемерных точек (углов) или одномерных каналов (ребра).
Такие системы демонстрируют защищённые локализованные состояния, устойчивые к малым возмущениям, если сохраняются симметрии кристалла и временная инвариантность (или её аналог для спин-орбитально связанных систем).
1. Двумерные модели: Простейшая модель SOTI реализуется через модифицированную модель Кана-Сублаха (Kane-Mele), где вводится массовый член с пространственной модуляцией, разрушающий симметрию на границе, но сохраняющий её в углах. Характерная гамильтонианная форма:
H(k) = (t + λcos kx)τx + (t + λcos ky)τy + Δ(cos kx − cos ky)τz,
где τi — матрицы Паули, t, λ, Δ — параметры, задающие топологический порядок. В таких моделях угловые состояния появляются на пересечении “массивных” краевых областей.
2. Трёхмерные модели: В 3D SOTI состояния локализуются на ребрах, а поверхность остаётся изолирующей. Гамильтониан часто строится через добавление вторичных масс к стандартным моделям трёхмерных ТО:
H(k) = H3D TI(k) + Δ(cos kx − cos ky)Γ5,
где Γ5 — дополнительная матрица Дирака, разрушающая часть симметрий на поверхности, но сохраняющая защиту на ребрах.
Защитой состояний второго порядка служат:
Нарушение этих симметрий может привести к исчезновению угловых или реберных состояний без разрушения bulk. Это отличает SOTI от обычных ТО, где топологическая защита определяется только bulk-зазором и инвариантом, связанным с ним.
1. Электронная спектроскопия: Локализованные угловые состояния проявляются в локальной плотности состояний (LDOS), измеряемой STM. Они демонстрируют пик в энергии, соответствующей низкоэнергетическим состояниям, локализованным в углах двумерной решётки.
2. Транспортные эксперименты: В двумерных SOTI угловые состояния формируют дискретные каналы проводимости. В трёхмерных SOTI проводимость вдоль ребер может быть измерена через многополюсные устройства.
3. Оптические и фотонные аналоги: SOTI реализуются не только в электронных системах, но и в фотонных кристаллах, метаматериалах и механических решётках. В таких системах локализованные состояния проявляются как резонансы или узкие спектральные линии.
Для классификации SOTI используются:
SOTI остаются устойчивыми к:
Однако взаимодействия, разрушающие ключевые симметрии, могут привести к переходу в обычный ТО или обычный изолятор. Теоретически рассматриваются сценарии: