Топологические изоляторы высших порядков

Топологические изоляторы высших порядков (Higher-Order Topological Insulators, HOTI) представляют собой обобщение концепции обычных топологических изоляторов. В отличие от традиционных топологических изоляторов, которые обладают проводящими поверхностными или краевыми состояниями, HOTI характеризуются наличием локализованных топологических состояний на границах более высокого порядка: уголках или ребрах кристаллов, то есть на границах размерности ниже, чем у поверхности.

Например:

  • 2D HOTI демонстрируют проводящие состояния в точках (углах) вместо границ (краев).
  • 3D HOTI могут иметь проводящие линии вдоль ребер или локализованные состояния на углах кубической кристаллической решётки.

Такое поведение связано с комбинированным влиянием симметрий кристаллической структуры и топологических инвариантов, которые нельзя редуцировать к стандартной теории топологических изоляторов (например, к инварианту Черна или индексу $_2$).

Симметрии и классификация

Ключевым аспектом HOTI является кристаллическая симметрия, которая обеспечивает защиту топологических состояний высших порядков. Важнейшие симметрии:

  • Инверсная симметрия – часто приводит к возникновению угловых состояний, которые локализуются на вершинах.
  • Ротационная симметрия (Cn) – определяет число и расположение локализованных состояний на углах.
  • Отражательная симметрия – обеспечивает защиту топологических линий вдоль ребер.

Классификация HOTI обычно проводится с использованием:

  • Матрицы инверсных паритетов в импульсном пространстве для 2D и 3D кристаллов.
  • Эффективных моделей тайтлов с матрицами тензоров и многомерными инвариантами.
  • Обобщённых инвариантов Винера для систем с дополнительной кристаллической симметрией.

Теоретические модели

1. Модель квадрата Бенджамина-Хаппса (2D)

Эта модель является прототипом 2D HOTI. Суть модели заключается в введении «квадратной решётки с модульной структурой», где амплитуды переходов между узлами различаются внутри и между ячейками.

  • Если межячейковые связи сильнее внутренних, возникает топологическое состояние второго порядка.
  • В реальном пространстве проявляются локализованные угловые состояния, которые могут быть обнаружены как нулевые модовые состояния на вершинах квадрата.

2. 3D кубическая модель

Для трёхмерных HOTI часто используют модификации моделей Дирака, где масса зависит от направления:

H(k) = ∑i = x, y, ztisin ki Γi + (m − ∑icos ki)Γ0

  • В этом случае при определённых параметрах массы $m$ и коэффициентов $t_i$ система демонстрирует проводящие линии вдоль рёбер куба, тогда как поверхности остаются изолированными.
  • Эти состояния защищены комбинацией инверсной и ротационной симметрии.

Топологические инварианты высших порядков

Для HOTI обычные топологические индексы недостаточны. Вводятся новые концепции:

  1. Квадрупольные и октупольные моменты

    • В 2D квадрупольный момент $q_{xy}$ характеризует угловые состояния:

      $$ q_{xy} = \frac{e}{2\pi} \text{Im} \ln \det U_{\text{occ}} $$

      где $U_{}$ – матрица связи между занятыми состояниями.

    • В 3D HOTI вводят октупольные моменты для описания локализации состояний на вершинах куба.

  2. Обобщённые индексы $_n$

    • Для систем с n-кратной ротационной симметрией угловые состояния классифицируются с помощью $_n$-инвариантов.

  3. Суммарные инварианты краевых состояний

    • В отличие от традиционных изоляторов, здесь важна структура нижестоящих границ: линии и углы вместо поверхностей.

Экспериментальные наблюдения

HOTI были обнаружены в различных системах:

  • Кристаллы из тяжёлых элементов: SnTe, Bi, Bi2Te3, модифицированные для HOTI-фазы.
  • Мета- и фотонные кристаллы: топологические угловые состояния наблюдаются с помощью микроволнового и оптического экспериментирования.
  • Электронные устройства на основе графена: создание локальных структур с квадрупольным моментом.

Методы наблюдения:

  • STM/STS (сканирующая туннельная микроскопия) – выявление локализованных угловых состояний.
  • ARPES – позволяет наблюдать локализованные состояния вдоль рёбер в 3D.
  • Электрические измерения – обнаружение дискретного проводящего тока через углы или рёбра.

Влияние нарушения симметрий и взаимодействий

  • Нарушение кристаллической симметрии:

    • Приводит к исчезновению угловых или реберных состояний.
    • Сохраняются только при наличии альтернативных защитных механизмов, например, временной или частичной инверсной симметрии.

  • Корреляционные эффекты и взаимодействия:

    • Электронные взаимодействия могут стабилизировать или разрушать HOTI-фазу.
    • В 2D квадрупольных изоляторах сильные взаимодействия могут приводить к формированию фракционных угловых состояний, аналогичных фракционным квантовым эффектам Холла.

Потенциальные приложения

HOTI интересны как фундаментальные системы и как платформа для устройств:

  • Квантовые вычисления – локализованные состояния могут служить носителями кубитов.
  • Электронные компоненты с защищёнными каналами передачи – проводимость через углы и рёбра без рассеяния.
  • Оптические и фотонные устройства – топологически защищённые угловые резонаторы и линии передачи света.
Оглавление