Топологические порядки и анионы

Понятие топологического порядка

Топологический порядок представляет собой особый вид квантового порядка, который не может быть описан в терминах локальных параметров симметрии и спонтанного нарушения симметрии. В отличие от обычных фазовых переходов, классифицируемых через локальные порядковые параметры (например, магнитный момент в ферромагнетике), топологический порядок характеризуется глобальными свойствами волновой функции системы.

Основные признаки топологического порядка:

  • Дегенерация основного состояния, зависящая от топологии пространства (например, число основного состояния на торе отличается от числа на сфере).
  • Робастность к локальным возмущениям, так как информация о состоянии системы зашифрована в глобальных связях.
  • Существование анионных возбуждений — квазичастиц с экзотической статистикой.
  • Наличие топологических инвариантов, описывающих фазу (например, число Черна в случае квантового эффекта Холла).

Топологические порядки в эффектах Холла

Наиболее яркий пример топологического порядка проявляется в дробном квантовом эффекте Холла (ДКЭХ). При определённых дробных заполнениях (например, при факторе заполнения ν = 1/3) система электронов в сильном магнитном поле организуется в состояние, описываемое волновой функцией Лафлина.

Такое состояние:

  • имеет топологическую вырожденность на торе;
  • поддерживает квазичастицы с дробным электрическим зарядом (например, e/3);
  • демонстрирует анионную статистику при обмене возбуждений.

Анионы и их статистика

Анионы — это квазичастицы, статистика которых отличается от фермионной и бозонной. В двумерных системах при перестановке частиц возможны более сложные фазы, чем просто π (фермионы) или 0 (бозоны).

  • Абелевы анионы: при перестановке двух частиц волновая функция умножается на фазовый множитель eiθ, где θ может быть любым.
  • Неабелевы анионы: при перестановке возбуждений волновая функция не просто получает фазу, а переходит в другую суперпозицию состояний. Это ведёт к матричному действию операторов перестановки (группы кос).

Неабелевы анионы представляют особый интерес, так как их многочастичные состояния обладают топологической вырожденностью, которую можно использовать для топологически защищённых квантовых вычислений.

Полевая теория Черна–Саймонса и описание топологического порядка

Для описания топологического порядка часто используется эффективная калибровочная теория Черна–Саймонса. В случае состояния Лафлина при факторе заполнения ν = 1/m лагранжиан можно записать как

$$ \mathcal{L} = \frac{m}{4\pi} \epsilon^{\mu\nu\lambda} a_\mu \partial_\nu a_\lambda + \frac{e}{2\pi} \epsilon^{\mu\nu\lambda} A_\mu \partial_\nu a_\lambda, $$

где aμ — вспомогательное калибровочное поле, а Aμ — электромагнитный потенциал.

Эта теория:

  • объясняет дробный заряд квазичастиц как вихревые конфигурации aμ;
  • воспроизводит анионную статистику через топологический фазовый фактор;
  • гарантирует вырожденность основного состояния на многообразиях с нетривиальной топологией.

Дегенерация основного состояния

Одним из ключевых свойств топологического порядка является зависимость числа вырожденных основных состояний от топологии поверхности. Например:

  • на сфере состояние Лафлина невырождено;
  • на торе вырожденность равна числу m при ν = 1/m.

Эта топологическая вырожденность устойчива к локальным возмущениям и является признаком хранения информации в глобальных топологических степенях свободы.

Анионы и квантовые вычисления

Неабелевы анионы открывают возможность для построения квантовых компьютеров нового типа. Их свойства:

  • Топологическая защита: информация хранится в глобальных степенях свободы, нечувствительных к локальным шумам.
  • Косовые операции: манипуляции с состоянием системы реализуются путём перемещения анионов друг вокруг друга, что соответствует выполнению определённых матричных преобразований.
  • Робастность: ошибки, связанные с локальными возмущениями, не меняют топологическое состояние.

В качестве перспективных кандидатов для реализации неабелевых анионов рассматриваются состояния типа Мура–Ридда (ν = 5/2) в дробном квантовом эффекте Холла и майорановские моды в топологических сверхпроводниках.

Топологическая энтропия запутанности

Для количественной характеристики топологического порядка используется топологическая энтропия запутанности. Она определяется как универсальная константа в энтропии фон Неймана подсистемы:

S = αL − γ + o(1),

где L — длина границы подсистемы, α — нефундаментальный коэффициент, а γ — топологическая энтропия запутанности, равная логарифму квантовой размерности системы возбуждений.

Значение γ служит универсальным инвариантом, позволяющим классифицировать различные топологические фазы.

Связь с экспериментом

Экспериментальные признаки анионов и топологического порядка включают:

  • дробные заряды, измеряемые через шум Шоттки в транспортных экспериментах;
  • фазы при перестановке квазичастиц, наблюдаемые через интерференционные эффекты;
  • робастные краевые состояния, защищённые топологическим порядком.

Таким образом, топологический порядок и анионы являются фундаментальной частью современной физики конденсированного состояния, связывая теоретические конструкции с реальными измеряемыми эффектами и открывая путь к практическим приложениям в квантовых технологиях.

Оглавление