Топологические солитоны представляют собой устойчивые локализованные решения нелинейных уравнений поля, сохраняющие свою форму благодаря топологической защите. Они возникают в системах с непростой структурой конфигурационного пространства и связаны с нетривиальной топологией поля. В отличие от обычных волновых решений, топологические солитоны характеризуются интегральными топологическими инвариантами, которые препятствуют их распаду на линейные возмущения.
Пусть $(x)$ — поле, определенное на пространстве $R^n$, принимающее значения в многообразии $M$ конфигураций. Топологическая неоднородность поля определяется гомотопической группой $_n(M)$:
πn(M) = {[ϕ] ∣ ϕ : Sn → M}
где $S^n$ — n-мерная сфера, соответствующая пространству на бесконечности, а $[]$ — класс гомотопии поля. Каждый нетривиальный класс гомотопии соответствует уникальному топологическому заряду, который сохраняется при эволюции системы.
Пример: Для одномерного поля $: R S^1$ топологический заряд определяется как число оборотов поля вокруг целевой сферы:
$$ Q = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} dx \, \partial_x \phi(x) \in \mathbb{Z}. $$
Этот заряд целочисленный и является топологическим инвариантом, обеспечивающим устойчивость солитона.
Кинетические квазичастицы (1D солитоны, кинки) Одномерные солитоны возникают, например, в $^4$-теории с потенциалом вида $V() = (^2 - v2)2$. Уравнение движения
$$ \partial_\mu \partial^\mu \phi = - \frac{\partial V}{\partial \phi} $$
имеет статическое решение кинка:
$$ \phi_{\text{kink}}(x) = v \tanh\left(\frac{m}{\sqrt{2}} x\right), $$
где $m = v$ — масса возмущений около вакуума. Кинк соединяет два различных вакуума $= v$ и характеризуется топологическим зарядом $Q = $.
Вихри и дислокации (2D солитоны) В двумерных системах, таких как модели $O(2)$ или $XY$, появляются вихри с целым топологическим числом:
$$ Q = \frac{1}{2\pi} \oint_{\partial \Sigma} \nabla \theta \cdot d\mathbf{l} \in \mathbb{Z}, $$
где $$ — угол направления поля в плоскости, $$ — замкнутый контур вокруг центра вихря. Вихри устойчивы благодаря невозможности непрерывно стянуть поле к однородной конфигурации без разрыва.
Монополи и скайлонные решения (3D солитоны) В трехмерных системах с симметрией $SU(2)$ или $SO(3)$ возникают монополи ’t Hooft–Polyakov и скайлоны. Монополь характеризуется гомотопическим классом $_2(S^2) = $, а скайлон — $_3(S^3) = $. Их топологический заряд выражается через интеграл по всей пространственной области:
$$ B = \frac{1}{24\pi^2} \int d^3x \, \epsilon^{ijk} \, \text{Tr} \left[(U^{-1}\partial_i U)(U^{-1}\partial_j U)(U^{-1}\partial_k U)\right]. $$
Этот интеграл дает целое число, называемое baryon number в модели Скайлона.
Ключевой особенностью топологических солитонов является наличие энергетического барьера, препятствующего распаду на линейные возмущения. Энергия солитона, как правило, локализована в компактной области пространства и зависит от формы поля:
$$ E[\phi] = \int d^n x \left[ \frac{1}{2} (\nabla \phi)^2 + V(\phi) \right]. $$
Для кинка энергия выражается аналитически:
$$ E_{\text{kink}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \lambda^{1/2} v^3. $$
Любая непрерывная деформация поля, сохраняющая топологический заряд, не может уменьшить энергию до нуля, что обеспечивает устойчивость солитона.
Топологические солитоны ведут себя как частицы с массой, импульсом и взаимодействием, зависящим от топологического типа и расстояния между ними:
Хотя классические солитоны защищены топологическим зарядом, квантовые флуктуации могут вносить поправки к их свойствам:
Эти эффекты делают топологические солитоны важными объектами для исследования в квантовой теории поля, конденсированной материи и физике высоких энергий.