Целочисленный квантовый эффект Холла

Целочисленный квантовый эффект Холла (ЦКЭХ) является фундаментальным феноменом конденсированной материи, проявляющимся в двумерных электронных системах при низких температурах и сильных перпендикулярных магнитных полях. Основное наблюдаемое явление — дискретизация поперечной проводимости σxy в виде строго целых кратных универсальной величины e2/h, где e — элементарный заряд, а h — постоянная Планка.

$$ \sigma_{xy} = \nu \frac{e^2}{h}, \quad \nu \in \mathbb{Z} $$

Здесь ν называется заполняющим фактором и определяется числом полностью заполненных ландовских уровней. Дискретизация проявляется независимо от деталей материала, что подчеркивает топологическую природу эффекта.

Ландовские уровни и их квантование

В двухмерной электронной газовой системе при магнитном поле B электроны движутся по орбитам, квантуемым в энергии:

$$ E_n = \hbar \omega_c \left(n + \frac{1}{2}\right), \quad n = 0,1,2,... $$

где $\omega_c = \frac{eB}{m^*}$ — циклотронная частота, m* — эффективная масса электрона. Каждому ландовскому уровню соответствует макроскопическая вырожденность:

$$ D = \frac{eB}{h} \cdot A $$

где A — площадь системы. Полное заполнение ν ландовских уровней приводит к квантованной поперечной проводимости.

Роль топологии

ЦКЭХ — пример топологического эффекта в физике конденсированных систем. Ключевое понятие здесь — инвариант Черна (Chern number), целое число, определяющее топологический класс волновой функции в Бриллюэновской зоне:

$$ \nu = \frac{1}{2\pi} \int_{\text{BZ}} \Omega(\mathbf{k}) \, d^2k $$

где Ω(k) — кручение Берри для электронной волновой функции. Именно топологический характер инварианта гарантирует устойчивость дискретной проводимости к локальным возмущениям, дефектам и слабым взаимодействиям.

Топологическая устойчивость и локализация

При наличии слабой дисперсии или рассеяния на дефектах электроны могут локализоваться, но поперечная проводимость остается строго квантованной. Это объясняется тем, что локализованные состояния не вносят вклад в ток, а токовые состояния, существующие на краевых границах системы, формируют так называемые краевые состояния Холла. Они являются односторонними (chiral) и защищены топологией, что исключает их обратное рассеяние.

Краевые состояния

Краевые состояния — ключевой элемент объяснения ЦКЭХ в реальных образцах. В однородном магнитном поле электроны на границе системы движутся вдоль края с фиксированной ориентацией, образуя дискретные каналы проводимости. Количество краевых каналов совпадает с заполняющим фактором ν и, следовательно, с числом полностью заполненных ландовских уровней:

$$ I = \nu \frac{e^2}{h} V $$

где V — приложенное поперечное напряжение. Эти состояния устойчивы к локальному рассеянию и дефектам благодаря топологической защите.

Экспериментальные наблюдения

Целочисленный квантовый эффект Холла впервые был обнаружен Клаусом фон Клитцингом в 1980 году. Экспериментальная реализация требует:

  • Двумерной электронной системы (например, GaAs/AlGaAs гетероструктуры);
  • Очень низких температур (обычно миллиКельвины), чтобы подавить тепловое расширение уровней;
  • Высоких магнитных полей (несколько тесла) для разделения ландовских уровней.

Экспериментально измеряют:

  • Поперечное сопротивление Rxy, которое демонстрирует плато на h/νe2;
  • Продольное сопротивление Rxx, которое почти обнуляется на этих плато, что свидетельствует о локализации зарядов в bulk.

Теоретические модели

Для описания ЦКЭХ используются несколько подходов:

  1. Модель Ландау-Харден: учитывает дискретизацию энергии в магнитном поле и заполняемость уровней.
  2. Модель Халдена и Кивела: топологическая теория на основе инвариантов Черна, объясняющая устойчивость плато.
  3. Сетевые модели Ланде-Китаева: учитывают рассеяние и краевые состояния для реальных гетероструктур.

Значение ЦКЭХ

ЦКЭХ — не просто фундаментальное явление, оно служит образцом топологического эффекта в конденсированных средах:

  • Определяет квантование проводимости с универсальной точностью 10−9;
  • Лежит в основе метрологического стандарта для сопротивления;
  • Послужило базой для открытия дробного квантового эффекта Холла, где появляются экзотические квазичастицы с дробными зарядами.
Оглавление