Вейлевские точки представляют собой особые типы вырожденных точек в зонной структуре кристалла, в которых пересекаются две или более энергетические полосы. Эти точки обладают линейной дисперсией энергии относительно кристаллического импульса, что приводит к образованию эффективных релятивистских фермионов с нулевой массой, называемых вейлевскими фермионами. Вейлевские точки играют фундаментальную роль в современной топологической физике твердых тел, так как они являются источниками топологических зарядов в импульсном пространстве.
Математически, вейлевская точка описывается эффективным гамильтонианом типа:
H(k) = ∑i = x, y, zviσi(ki − ki0)
где k0 — координаты вейлевской точки в зоне Бриллюэна, σi — матрицы Паули, а vi — компоненты скорости Ферми вдоль соответствующих направлений.
Вейлевские точки характеризуются топологическим зарядом — хиральностью C, который может принимать значения +1 или −1. Этот заряд является интегралом кривизны Берри по замкнутой поверхности S, охватывающей точку:
$$ C = \frac{1}{2\pi} \oint_S \mathbf{\Omega}(\mathbf{k}) \cdot d\mathbf{S}, $$
где Ω(k) — вектор кривизны Берри, определяемый как:
Ω(k) = ∇k × A(k), A(k) = −i⟨uk|∇k|uk⟩.
Здесь |uk⟩ — периодическая часть волновой функции Блохa. Топологический заряд C обеспечивает устойчивость вейлевской точки против малых возмущений: две точки с одинаковыми знаками заряда не могут аннигилироваться, а с противоположными — могут сойтись и взаимно уничтожиться.
Тип-I: Характеризуются строго линейной дисперсией вблизи точки пересечения. Конусы Ферми имеют форму типичного «вейлевского конуса». Такие точки сохраняют отдельные изолированные энергетические состояния на поверхности Ферми.
Тип-II: Отличаются наклоненным конусом дисперсии, при котором срез Ферми пересекает и конус, и создаёт открытые поверхности Ферми. Вследствие этого появляются анизотропные транспортные свойства, включая направленную кондукцию и асимметрию в магнитном отклике.
Вейлевские точки связаны с рядом экзотических физических эффектов:
Аномалия Чиральности: При наложении электрического и магнитного полей вдоль одного направления возникает неравномерная миграция вейлевских фермионов разных хиральностей, что приводит к отрицательной магниторезистивности. Этот эффект отражает квантовую аномалию фермионов.
Краевые состояния Ферми-джеки: Вейлевские точки порождают так называемые Fermi arc — поверхностные состояния, соединяющие проекции точек противоположной хиральности на поверхности образца. Они имеют дискретный спектр вдоль ограниченных линий Бриллюэновской зоны и являются прямым проявлением топологической природы вейлевских точек.
Анизотропный перенос и оптические эффекты: Из-за линейной дисперсии и топологической структуры волновые функции вейлевских фермионов демонстрируют необычные оптические отклики, включая нелинейную генерацию гармоник и квантовые аномалии при поглощении света.
ARPES (Angle-Resolved Photoemission Spectroscopy): Прямое измерение энергии и импульса электронов позволяет визуализировать конусы Ферми и наблюдать Fermi arc на поверхности материала.
Магниторезистивные измерения: Измерение изменения сопротивления при наложении параллельных электрического и магнитного полей выявляет проявление аномалии чиральности.
Квантовые осцилляции: Изучение осцилляций Ландау в магнитном поле позволяет определить расположение и тип вейлевских точек в зоне Бриллюэна.
Оптические спектроскопические методы: Используются для выявления нелинейных оптических откликов, характерных для топологических фермионов.
Вейлевские точки наблюдаются в ряде кристаллов с определённой симметрией:
Топологические заряды вейлевских точек играют фундаментальную роль в классификации топологических материалов. Они обеспечивают: