Активные скаляры в турбулентности

В турбулентной среде различают два типа скалярных полей: пасивные и активные. Пасивные скаляры (например, красители или тепло при изотермическом потоке) не влияют на динамику потока, их эволюция определяется только текущей скоростной структурой турбулентности. Активные скаляры, напротив, оказывают обратное воздействие на поле скорости. Классическим примером является температура в конвективной турбулентности, которая через силу Архимеда генерирует и поддерживает движение жидкости. Другой пример — концентрация химического реагента, участвующего в экзотермической реакции и изменяющего плотность среды.

Математически активный скаляр θ(x, t) описывается уравнением:

$$ \frac{\partial \theta}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \theta = \kappa \nabla^2 \theta + S(\theta, \mathbf{u}), $$

где:

u(x, t) — поле скорости жидкости,
κ — коэффициент диффузии скаляра,
S(θ, u) — источник, включающий взаимодействие скаляра с потоком.

Обратная связь на скорость формулируется через уравнения Навье–Стокса с дополнительным источником:

$$ \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = - \frac{1}{\rho} \nabla p + \nu \nabla^2 \mathbf{u} + \mathbf{F}(\theta), $$

где F(θ) отражает влияние скаляра на движение жидкости. В конвективной турбулентности F(θ) = gβθ, где β — коэффициент теплового расширения.

Структура активных скаляров в турбулентной среде

Активные скаляры формируют неоднородные поля с широкой шкалой пространственных и временных колебаний. Основные характеристики:

Анизотропия и неоднородность — взаимодействие с силой тяжести, градиентами плотности или химическими источниками создаёт структуры различной формы: пластины, вихри, термальные колонны.
Каскад энергии — аналогично механической турбулентности, энергия, переносимая активным скаляром, может участвовать в обратных и прямых каскадах. Например, в двумерной конвекции мелкие термальные вихри могут сливаться в крупные образования.
Корреляция с полем скорости — в отличие от пассивного скаляра, активный скаляр тесно связан с локальной скоростью потока. Величина корреляции зависит от интенсивности обратной связи и масштаба турбулентности.

Турбулентная конвекция

Конвективная турбулентность является типичным примером активного скаляра. В горизонтально ограниченной ячейке с разностью температур между верхним и нижним слоями образуются сложные потоки:

Мелкомасштабная турбулентность — локальные вихри, формирующиеся за счёт неустойчивости в слое жидкости.
Среднемасштабные структуры — термальные колонны и плиты, которые определяют крупномасштабный перенос энергии.
Крупномасштабные течения — потоковая организация, иногда формирующая конвективные суперячейки, которые сильно влияют на распределение активного скаляра.

Уравнение Буссинеска, применяемое для малых градиентов плотности, описывает активный скаляр (температуру) в турбулентной конвекции:

$$ \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} = -\frac{1}{\rho_0} \nabla p + \nu \nabla^2 \mathbf{u} + \mathbf{g} \beta (T-T_0), $$

$$ \frac{\partial T}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla) T = \kappa \nabla^2 T, $$

где T₀ — опорная температура.

Ключевым параметром является число Релея (Ra), определяющее интенсивность конвективного переноса:

$$ Ra = \frac{g \beta \Delta T L^3}{\nu \kappa}. $$

Высокие значения Ra приводят к развитой турбулентности, сложной структуре потоков и выраженной неоднородности распределения активного скаляра.

Статистические свойства активных скаляров

Гистограммы и спектры активного скаляра отличаются от пассивного:

Спектр энергии скаляра E_θ(k) часто демонстрирует аномальные скейлинг-законы, особенно в прямом каскаде.
Интермиттентность проявляется в виде локальных вспышек интенсивности скаляра, связанных с внезапными ускорениями потока.
Статистическая корреляция между скаляром и скоростью часто описывается функциями совместного распределения и условного среднего.

Для конвективной турбулентности спектр может следовать закону Батиа:

E_θ(k) ∼ k^−7/5 для прямого каскада энергии.

Активные скаляры в геофизических и астрофизических потоках

Атмосферная турбулентность: распределение температуры и влажности напрямую влияет на образование облаков и локальные вихри.
Океанская конвекция: солёность и температура формируют активные скаляры, которые генерируют мезомасштабные вихри.
Магнитогидродинамическая турбулентность: концентрация плазмы и температуры в звёздных коронах играет роль активного скаляра, влияющего на движение магнитного поля.
Звездообразующие области: плотность газа, формируемого из охлаждаемого вещества, создает активный скаляр, который управляет локальной турбулентной структурой и коллапсом.

Моделирование и численные методы

Активные скаляры требуют комплексного подхода:

DNS (Direct Numerical Simulation) позволяет решать полные уравнения Навье–Стокса с источником от скаляра, фиксируя все масштабы турбулентности.
LES (Large Eddy Simulation) применяется для крупных масштабов, где мелкомасштабные турбулентные структуры смоделированы через субрешеточные модели.
Польные подходы и статистические модели включают уравнения Фоккера–Планка для вероятностного описания активного скаляра в турбулентной среде.