Каскад энергии Колмогорова

Основные положения теории Колмогорова

Турбулентность характеризуется сложной нестационарной структурой вихрей различного масштаба. А.Н. Колмогоров в 1941 году предложил статистическую теорию турбулентности для высоко-ре́йнольдсовых течений, основанную на гипотезе о самоподобии малых масштабов. В его модели различают три основных диапазона:

  1. Диапазон энергетических входов (энергетический диапазон, крупные вихри) В этом диапазоне энергия подводится к потоку через внешние силы (например, градиенты давления или движение границ). Характерный размер вихрей здесь L, а типичная скорость турбулентного движения U. Важная особенность: динамика зависит от конкретных условий потока, геометрии системы и способа введения энергии.

  2. Интермедиарный диапазон (инерционный поддиапазон) Энергия, полученная крупными вихрями, передаётся вниз по шкале размеров от больших вихрей к меньшим через непосредственное взаимодействие вихрей. В этом диапазоне вязкость играет незначительную роль; основные процессы описываются законами инерции.

    Ключевой результат Колмогорова — закон масштаба энергетического спектра в инерционном поддиапазоне:

    E(k) = CK ε2/3k−5/3,

    где:

    • E(k) — спектральная плотность кинетической энергии,
    • k — волновое число (обратная пропорция длине вихря),
    • ε — скорость диссипации энергии на единицу массы,
    • CK — константа Колмогорова, эмпирически ~1.5.

    Этот закон отражает самоподобный каскад энергии, когда одинаковая доля энергии проходит через каждый масштаб вихрей.

  3. Диссипативный диапазон (малые масштабы) На достаточно малых масштабах, длина которых характеризуется длинами Колмогорова

    $$ \eta = \left(\frac{\nu^3}{\varepsilon}\right)^{1/4}, $$

    вязкость жидкости становится доминирующим фактором. Здесь кинетическая энергия превращается в тепло, и турбулентное движение затухает. Скорость характерных вихрей:

    vη = (νε)1/4,  τη = (ν/ε)1/2.

Каскад энергии и его интерпретация

Идея каскада энергии заключается в последовательной передаче кинетической энергии от крупных вихрей к все меньшим до тех пор, пока вязкие эффекты не приведут к её диссипации. В статистическом смысле это означает, что скорость потока в инерционном диапазоне определяется только ε и не зависит от вязкости или деталей внешних условий.

Гомогенизация и изотропность малых масштабов

Колмогоров предположил, что при достаточно малых масштабах турбулентного потока структура вихрей становится гомогенной и изотропной, даже если крупные масштабы зависят от границ и геометрии системы. Это позволило построить универсальные законы, применимые к различным видам турбулентных течений.

Энергетический спектр и статистические моменты

  • Первый порядок: ⟨δv⟩ ∼ (εr)1/3, где δv — разность скоростей на расстоянии r.

  • Второй порядок (структурная функция):

    S2(r) = ⟨(δv)2⟩ ∼ (εr)2/3.

    Связь между структурной функцией и энергетическим спектром через преобразование Фурье подтверждает закон k−5/3.

Экспериментальные подтверждения

Современные эксперименты и численные симуляции высокой точности подтверждают:

  • масштабная зависимость энергетического спектра соответствует предсказанию Колмогорова,
  • распределение энергии в инерционном поддиапазоне почти универсально,
  • диссипация на малых масштабах хорошо описывается длинами Колмогорова.

Влияние числа Рейнольдса

Ключевое условие применимости теории Колмогорова — высокое число Рейнольдса, Re ≫ 1. При малых Re масштабная дифференциация нарушается, каскад энергии не формируется, и поток не является полностью турбулентным.

Каскад энергии в приложениях

  • Атмосферная турбулентность: передача энергии от крупных фронтов к мелким вихрям, влияющим на обмен теплом и влагой.
  • Гидротехника: расчет сопротивления потока в трубопроводах и канализациях с высокой турбулентностью.
  • Аэродинамика: формирование завихрений и их влияние на сопротивление и шум.

Каскад энергии Колмогорова остаётся центральной концепцией современной теории турбулентности, объединяя физическую интуицию и строгую статистическую модель, позволяя прогнозировать поведение сложных вихревых структур в широком диапазоне масштабов.

Оглавление