Определение и физический смысл Коэффициенты турбулентного переноса описывают эффективность переноса массы, импульса и энергии в турбулентной среде. В отличие от молекулярных коэффициентов диффузии, вязкости и теплопроводности, которые характеризуют перенос на микроскопическом уровне, турбулентные коэффициенты отражают макроскопическое перемешивание потоков за счёт вихревых структур различного масштаба. Их часто называют эффективными или турбулентными вязкостью, теплопроводностью и диффузией.
Основная идея заключается в том, что турбулентное движение создаёт ускоренный перенос физических величин по сравнению с ламинарным режимом. Для различных физических процессов вводятся следующие коэффициенты:
Эти коэффициенты обычно значительно превышают молекулярные, особенно в высокоэнергетических потоках и геофизических масштабах.
Для осреднённого описания турбулентного потока используют метод Рейнольдса: скорость u и другие скаляры (например, температура T) разлагаются на среднюю и флуктуационную компоненты:
$$ \mathbf{u} = \overline{\mathbf{u}} + \mathbf{u}' $$
$$ T = \overline{T} + T' $$
Подстановка в уравнения Навье–Стокса и последующее осреднение по времени даёт уравнения Рейнольдса, где проявляются новые члены в виде корреляций флуктуаций, например, тензор Рейнольдса:
$$ R_{ij} = \overline{u'_i u'_j} $$
Для практических расчетов эти корреляции заменяют турбулентными коэффициентами переноса, используя гипотезу Буссинеска:
$$ \overline{u'_i u'_j} \approx - \nu_t \left( \frac{\partial \overline{u}_i}{\partial x_j} + \frac{\partial \overline{u}_j}{\partial x_i} \right) $$
Аналогично, турбулентная диффузия вещества описывается выражением:
$$ \overline{u'_i c'} \approx - D_t \frac{\partial \overline{c}}{\partial x_i} $$
где c — концентрация вещества.
Для турбулентной вязкости часто используют подход на основе характеристических масштабов турбулентности:
νt ∼ l u′
где l — интегральная длина турбулентного вихря, u′ — среднеквадратичная скорость флуктуаций.
Для турбулентной теплопроводности и диффузии вводят соотношения:
$$ \alpha_t \sim \frac{\nu_t}{\mathrm{Pr}_t}, \quad D_t \sim \frac{\nu_t}{\mathrm{Sc}_t} $$
где Prt и Sct — турбулентные числа Прандтла и Шмидта.
Наиболее распространённая двухуравненная модель описывает турбулентность через кинетическую энергию турбулентных флуктуаций k и её диссипацию ε:
$$ \nu_t = C_\mu \frac{k^2}{\varepsilon} $$
где Cμ — эмпирическая константа (обычно ≈ 0.09).
Уравнения для k и ε имеют вид:
$$ \frac{\partial k}{\partial t} + \overline{u}_j \frac{\partial k}{\partial x_j} = P_k - \varepsilon + \frac{\partial}{\partial x_j} \left[ \left( \nu + \frac{\nu_t}{\sigma_k} \right) \frac{\partial k}{\partial x_j} \right] $$
$$ \frac{\partial \varepsilon}{\partial t} + \overline{u}_j \frac{\partial \varepsilon}{\partial x_j} = C_{1\varepsilon} \frac{\varepsilon}{k} P_k - C_{2\varepsilon} \frac{\varepsilon^2}{k} + \frac{\partial}{\partial x_j} \left[ \left( \nu + \frac{\nu_t}{\sigma_\varepsilon} \right) \frac{\partial \varepsilon}{\partial x_j} \right] $$
где Pk — производство турбулентной энергии.
Коэффициенты турбулентного переноса можно измерить косвенно:
Эксперименты показывают, что турбулентные коэффициенты могут быть на 2–5 порядков больше молекулярных, и сильно зависят от геометрии потока и числа Рейнольдса.
В реальных потоках турбулентные коэффициенты не являются скалярами, особенно вблизи стенок, в стратифицированных или сдвиговых течениях. В таких случаях вводят тензорную форму турбулентной вязкости:
νt, ij = fij(x, y, z)
Это позволяет учитывать различия в переносе вдоль разных направлений и корректно моделировать сложные структуры турбулентности.
Турбулентный перенос тесно связан с масштабами вихрей:
Соотношение между коэффициентом турбулентной вязкости и длиной интегрального вихря часто записывают как:
νt ∼ u′ lint
где lint — интегральная длина, определяемая автокорреляцией скоростей.