В численном моделировании турбулентных потоков ключевым инструментом являются конечно-разностные схемы (КРС), позволяющие аппроксимировать дифференциальные уравнения, описывающие динамику жидкости, на дискретной сетке. Эти схемы широко применяются как для прямого численного моделирования (DNS), так и для методов крупномасштабного моделирования (LES) и моделей RANS.
КРС заменяют непрерывные производные конечными разностями, что позволяет решать уравнения Навье–Стокса и сопутствующие им уравнения переноса скаляров на компьютере. Для турбулентных потоков критически важно сохранять точность и стабильность схемы, учитывая широкий диапазон масштабов.
Для одномерного случая уравнения консервации массы или импульса:
$$ \frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial f(u)}{\partial x} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, $$
дискретизация по пространству может выполняться с использованием:
$$ \left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_i \approx \frac{u_{i+1} - u_{i-1}}{2\Delta x}, \quad \left.\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_i \approx \frac{u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1}}{\Delta x^2}. $$
Центрированные схемы обеспечивают вторую порядок точности, но для конвективных членов могут быть нестабильными при высоких числах Рейнольдса без дополнительных стабилизирующих методов.
$$ \left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_i \approx \frac{u_i - u_{i-1}}{\Delta x}. $$
Такие схемы устойчивы для потоков с выраженной направленностью, но обладают меньшей точностью и могут вызывать численную диффузию.
Для интегрирования во времени применяются схемы:
$$ u_i^{n+1} = u_i^n - \Delta t \frac{f_{i+1/2}^n - f_{i-1/2}^n}{\Delta x} + \nu \Delta t \frac{u_{i+1}^n - 2 u_i^n + u_{i-1}^n}{\Delta x^2}. $$
Ограничены условием Куранта-Фридрихса-Леви (CFL) для устойчивости:
$$ \Delta t \le \frac{\Delta x}{|u_{\text{max}}|}. $$
Турбулентные потоки характеризуются наличием широкого спектра шкал, что накладывает строгие требования на схемы:
Численная диссипация – искусственное сглаживание мелких структур из-за аппроксимации производных. Используется сознательно в LES для моделирования подрешеточной турбулентности (subgrid-scale, SGS).
Численная дисперсия – искажение фазовых скоростей волн, что особенно критично для волн высокой частоты.
Сохранение консервационных свойств – схемы должны точно сохранять массу, импульс и энергию на дискретной сетке. Центрированные схемы обычно лучше сохраняют эти свойства, чем односторонние.
Высокопорядковые схемы – применяются для снижения численной диссипации и дисперсии, например, схемы WENO, ENO или компактные схемы высокой точности.
DNS (Direct Numerical Simulation): Для прямого моделирования турбулентности необходима дискретизация, способная разрешить все турбулентные шкалы от крупных вихрей до диссипативных мелких масштабов (скейл Кольмогорова). Обычно применяются схемы высокого порядка (4–8) для минимизации численной диссипации.
LES (Large Eddy Simulation): КРС применяются для больших вихрей, тогда как малые шкалы моделируются через подрешеточные модели. Центральные схемы высокой точности с небольшим численным диссипативным эффектом предпочтительны.
RANS (Reynolds-Averaged Navier–Stokes): Для среднезапасных уравнений точность пространственных схем критична для корректного вычисления градиентов напряжений Рейнольдса. Здесь часто достаточно схем второго порядка, но с усилением точности на границах слоистого течения.