Континуальная механика и турбулентность

В континуальной механике движение жидкости или газа описывается через поля скорости v(x, t), давления p(x, t) и плотности ρ(x, t). Основной фундаментальный инструмент для описания турбулентных потоков — уравнения Навье–Стокса:

$$ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{f}, $$

где μ — динамическая вязкость, f — внешние силы (например, гравитация), а ∇2 — оператор Лапласа, описывающий диффузию импульса.

Ключевой момент: турбулентность возникает при высоких значениях числа Рейнольдса $Re = \frac{\rho v L}{\mu}$, когда нестационарные не линейные члены (v ⋅ ∇)v доминируют над вязкими силами.

Для несжимаемой жидкости ∇ ⋅ v = 0, что упрощает анализ, но не устраняет сложность турбулентных режимов.

Статистический подход к турбулентности

Из-за высокой нелинейности прямое решение уравнений Навье–Стокса в турбулентном режиме крайне затруднительно. Поэтому используется статистический метод, который основывается на разложении поля скорости на среднее и флуктуации:

$$ \mathbf{v}(\mathbf{x},t) = \overline{\mathbf{v}}(\mathbf{x},t) + \mathbf{v}'(\mathbf{x},t), $$

где $\overline{\mathbf{v}}$ — усреднённая по времени или ансамблю скорость, а v′ — турбулентная составляющая.

Подставляя это разложение в уравнения Навье–Стокса и усредняя, получаем уравнения Рейнольдса для средних полей:

$$ \rho \left( \frac{\partial \overline{\mathbf{v}}}{\partial t} + (\overline{\mathbf{v}} \cdot \nabla)\overline{\mathbf{v}} \right) = -\nabla \overline{p} + \mu \nabla^2 \overline{\mathbf{v}} - \rho \nabla \cdot \overline{\mathbf{v}' \mathbf{v}'} + \overline{\mathbf{f}}, $$

где появляется новый член $- \rho \nabla \cdot \overline{\mathbf{v}' \mathbf{v}'}$, называемый тензором Рейнольдса, отражающий влияние турбулентных флуктуаций на среднее движение.

Ключевой момент: уравнения Рейнольдса не замкнуты — для их решения требуется дополнительная модель для турбулентных напряжений.

Энергетические соотношения в турбулентном потоке

Турбулентность характеризуется переносом кинетической энергии через широкий спектр пространственных масштабов. Основное уравнение для плотности кинетической энергии турбулентных флуктуаций $k = \frac{1}{2} \overline{v'_i v'_i}$ имеет вид:

$$ \frac{\partial k}{\partial t} + \overline{\mathbf{v}} \cdot \nabla k = P - \varepsilon + T, $$

где:

  • $P = - \overline{v'_i v'_j} \frac{\partial \overline{v}_i}{\partial x_j}$ — производство турбулентной энергии за счёт сдвиговых течений,
  • $\varepsilon = \nu \overline{\left( \frac{\partial v'_i}{\partial x_j} \right)^2}$ — диссипация энергии на малых масштабах,
  • T — транспорт турбулентной энергии конвекцией и диффузией.

Энергетический спектр турбулентности в инертной подзоне, по гипотезе Колмогорова (1941), следует закону:

E(k) ∼ ε2/3k−5/3,

где k — волновое число, ε — скорость диссипации энергии.

Ключевой момент: закон Колмогорова демонстрирует универсальность малых масштабов турбулентного движения, которые не зависят от формы внешних границ или специфики больших масштабов.

Многоуровневая структура турбулентности

Турбулентный поток — это сложная иерархия вихрей разных масштабов:

  1. Макроскопические вихри: размеры сопоставимы с характерной длиной потока L, зависят от геометрии и условий на границе.
  2. Энергетические вихри: промежуточные вихри, через которые энергия передается от больших к малым масштабам.
  3. Микровихри (диссипативные): малые вихри на масштабе Колмогорова η = (ν3/ε)1/4, где энергия полностью рассеивается вязкостью.

Ключевой момент: турбулентность является самоподдерживающейся благодаря каскаду энергии от больших вихрей к малым, завершающемуся диссипацией.

Моделирование турбулентных потоков

Для практических расчетов используются разные подходы:

  • Direct Numerical Simulation (DNS) — точное численное решение уравнений Навье–Стокса без модели турбулентности. Требует огромных вычислительных ресурсов.
  • Large Eddy Simulation (LES) — моделирование больших вихрей с фильтрацией малых масштабов и использованием моделей субсеточного тензора Рейнольдса.
  • Reynolds-Averaged Navier-Stokes (RANS) — усредненные уравнения с моделями турбулентности (например, k-ε, k-ω), подходящие для инженерных приложений.

Ключевой момент: выбор метода моделирования определяется масштабами задачи, требуемой точностью и доступными вычислительными ресурсами.

Влияние турбулентности на транспортные процессы

Турбулентные потоки резко усиливают перенос массы, импульса и тепла. Коэффициенты диффузии турбулентного характера (Dt, νt) обычно на порядок выше молекулярных значений.

Например, для переноса тепла:

q = −(κ + κt)∇T,

где κt — турбулентная теплопроводность, связанная с турбулентной кинетической энергией и временем жизни вихрей.

Ключевой момент: турбулентность делает поток “эффективно перемешивающим”, что существенно ускоряет процессы тепло- и массообмена в инженерных и природных системах.

Оглавление