В турбулентной гидродинамике ключевую роль играет статистическое описание поля скоростей. Поле u(x, t) характеризуется сложной пространственно-временной структурой, и для его количественного анализа используются корреляционные функции.
Двухточечная корреляционная функция скорости определяется как среднее произведение отклонений скорости в двух точках пространства:
Rij(r) = ⟨ui(x) uj(x + r)⟩,
где r — вектор разделения, i, j — компоненты вектора скорости, а угловые скобки ⟨⋅⟩ обозначают статистическое усреднение по ансамблю или времени.
Основные свойства корреляционных функций:
Для изотропной турбулентности корреляционная функция упрощается и может быть разложена на продольную и поперечную составляющие:
$$ R_{ij}(\mathbf{r}) = \left[ R_L(r) - R_N(r) \right] \frac{r_i r_j}{r^2} + R_N(r) \delta_{ij}, $$
где RL(r) и RN(r) — продольная и поперечная корреляции, соответственно.
Для описания неоднородностей на малых масштабах используется функция структуры второго порядка:
S2(r) = ⟨|u(x + r) − u(x)|2⟩.
Связь с корреляционной функцией выражается через:
S2(r) = 2[⟨u2⟩ − R(r)].
Функция структуры позволяет выделять характерные масштабы турбулентности, в том числе инерциальный диапазон, где выполняется известная зависимость Колмогорова:
S2(r) ∼ (εr)2/3,
где ε — скорость диссипации турбулентной энергии на единицу массы.
Для более детального анализа используется энергетический спектр E(k), который описывает распределение кинетической энергии по волновым числам k = 2π/λ:
$$ \frac{1}{2} \langle u_i u_i \rangle = \int_0^\infty E(k) \, dk. $$
Связь между корреляционной функцией и спектром задается преобразованием Фурье:
$$ E(k) = \frac{1}{2\pi^2} \int_0^\infty R(r) \frac{\sin(kr)}{kr} \, r^2 dr, $$
что позволяет переходить от пространственного описания к волновому.
Основные особенности спектра:
E(k) = CK ε2/3k−5/3,
где CK ≈ 1.5 — константа Колмогорова. 3. Диссипативный диапазон: при больших k энергия резко падает, что соответствует вязкому рассеянию турбулентной энергии.
Помимо пространственной структуры, важны временные корреляции:
Rij(τ) = ⟨ui(t)uj(t + τ)⟩,
где τ — временной лаг. Преобразование Фурье по времени дает спектр частот E(ω), который позволяет анализировать динамику турбулентного потока.
Для стационарной турбулентности часто используется гипотеза Тейлора, связывающая временные и пространственные корреляции через “замороженный” поток:
ω = kU,
где U — характерная скорость потока.
В многокомпонентных потоках или магнитогидродинамической турбулентности используются кросс-корреляционные функции, характеризующие взаимодействие между различными полями:
Ruv(r) = ⟨u(x)v(x + r)⟩.
На основе спектрального анализа кросс-корреляций определяется коэффициент переноса энергии между компонентами и выявляются анизотропные эффекты.