Квазидвумерная турбулентность

Квазидвумерная турбулентность (КДТ) представляет собой специфический режим турбулентных течений, когда движение жидкости или газа в значительной степени ограничено в одном пространственном направлении. Такой режим часто встречается в атмосферной и океанической динамике, плазменной физике и астрофизике, где вертикальные масштабы потока заметно меньше горизонтальных. В отличие от классической трёхмерной турбулентности, КДТ характеризуется уникальными закономерностями переноса энергии и вихревых структур.

Основные уравнения и идеализация

Ключевым инструментом для анализа КДТ являются уравнения Навье–Стокса с учетом приближения к двумерности:

$$ \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u} = -\nabla p/\rho + \nu \nabla^2 \mathbf{u} + \mathbf{f}, $$

где u = (ux, uy) — горизонтальная скорость, p — давление, ρ — плотность, ν — кинематическая вязкость, f — внешние силы (например, ковариантные воздействия вращения планеты). Вертикальная компонента скорости uz и вертикальные градиенты считаются малыми и часто пренебрегаются.

При строгой двумерной идеализации сохраняются два интеграла движения: кинетическая энергия и энстрофия:

$$ E = \frac{1}{2} \int |\mathbf{u}|^2 \, dA, \quad \Omega = \frac{1}{2} \int \omega^2 \, dA, \quad \omega = \frac{\partial u_y}{\partial x} - \frac{\partial u_x}{\partial y}. $$

Сохранение этих величин является фундаментальной особенностью КДТ, что резко отличает её от трёхмерной турбулентности, где энергия и вихревое напряжение распределяются иначе.

Энергетические каскады

В трёхмерной турбулентности энергия переносится от крупных масштабов к малым (прямой каскад), где она диссипируется на молекулярном уровне. В квазидвумерной турбулентности наблюдается обратный каскад энергии, при котором крупные вихри формируются из малых структур. При этом энстрофия переносится по прямому каскаду к малым масштабам.

Ключевые закономерности:

  • Прямой каскад энстрофии: ΠΩ(k) > 0, с переносом вихревой энергии к большим волновым числам k (малые масштабы).

  • Обратный каскад энергии: ΠE(k) < 0, энергия концентрируется в низкочастотной области (крупные вихри).

Эта двойственность приводит к образованию устойчивых крупных вихрей и структур, наблюдаемых, например, в атмосферных вихрях или океанических течениях.

Спектры турбулентности

Квазидвумерная турбулентность характеризуется двумя типами спектрального распределения энергии:

  1. Каскад энстрофии (малые масштабы):

E(k) ∼ CΩη2/3k−3,

где η — поток энстрофии, CΩ — константа, k — волновое число.

  1. Обратный каскад энергии (крупные масштабы):

E(k) ∼ CEϵ2/3k−5/3,

где ϵ — поток энергии, CE — константа Колмогорова.

Такое двойное распределение спектров является характерным признаком квазидвумерной турбулентности и наблюдается во многих лабораторных экспериментах и численных моделях.

Вихревая структура и самоорганизация

Одной из уникальных особенностей КДТ является самоорганизация вихрей. Малые вихри сливаются, образуя крупные монолитные структуры, способные сохраняться длительное время. Это явление объясняется сохранением интеграла энергии при одновременном переносе энстрофии к малым масштабам.

Примеры:

  • Океанические вихри: размеры до сотен километров, формируются из мелких турбулентных вихрей.
  • Атмосферные циклоны и антициклоны: крупные вихревые структуры в атмосфере Земли.

Статистический анализ КДТ показывает анизотропию и структурную неоднородность поля скорости, что принципиально отличается от полностью изотропной трёхмерной турбулентности.

Влияние внешних факторов

Квазидвумерная турбулентность чувствительна к следующим условиям:

  1. Ротация системы: эффект Кориолиса усиливает тенденцию к двухмерности, стабилизируя крупные вихри.
  2. Вертикальные градиенты плотности: стратификация жидкости ограничивает вертикальные движения, усиливая горизонтальные масштабные структуры.
  3. Внешние силы и источники энергии: например, нагрев снизу или механические возмущения, которые задают начальные масштабы турбулентных вихрей.

Эти факторы формируют не только структуру вихрей, но и спектральное распределение энергии и энстрофии.

Численные и экспериментальные исследования

Методы изучения КДТ включают:

  • Численные симуляции: Решение двумерных уравнений Навье–Стокса с высокой разрешающей способностью, изучение каскадов энергии и энстрофии.
  • Лабораторные эксперименты: Ротационные танки, двухслойные жидкости, электромагнитные генераторы вихрей.
  • Аналитические модели: Приближения, основанные на статистической механике вихрей (модели Дж. Фридмана, М. Левина и др.).

Такие подходы позволяют количественно описывать самоорганизацию вихрей, спектры и динамику каскадов в квазидвумерной турбулентности.

Оглавление