Марковские процессы представляют собой особый класс стохастических процессов, в которых будущее состояние системы зависит исключительно от её текущего состояния, а не от всей предшествующей истории. В контексте турбулентности это означает, что статистические свойства локальных полей скорости или векторных величин зависят только от текущего положения в фазовом пространстве, что упрощает математическое описание сложных динамических систем.
Формально, для марковского процесса X(t) выполняется свойство:
P(X(t + Δt)|X(t), X(t − Δt), …) = P(X(t + Δt)|X(t)),
где P — вероятность перехода между состояниями. В турбулентных потоках это свойство позволяет описывать эволюцию вероятностных распределений скоростей и других полей с помощью марковских моделей.
Для марковских процессов в турбулентности основным инструментом является мастер-уравнение, которое описывает эволюцию вероятностного распределения P(x, t):
$$ \frac{\partial P(x,t)}{\partial t} = \sum_{x'} \left[ W(x|x') P(x',t) - W(x'|x) P(x,t) \right], $$
где W(x|x′) — интенсивность перехода из состояния x′ в состояние x. Для непрерывных переменных его часто заменяют на уравнение Фоккера–Планка:
$$ \frac{\partial P(x,t)}{\partial t} = - \frac{\partial}{\partial x} \big[ A(x) P(x,t) \big] + \frac{\partial^2}{\partial x^2} \big[ B(x) P(x,t) \big], $$
где A(x) — дрейфовая функция (описывает детерминированную составляющую эволюции), а B(x) — коэффициент диффузии (описывает стохастическую составляющую).
В турбулентности эти уравнения применяются для описания эволюции полей скоростей на различных масштабах. Например, при анализе интервальной статистики скорости на малых масштабах можно считать процессы марковскими по масштабу, что позволяет использовать методы Фоккера–Планка для моделирования энергии и импульса.
Одним из ключевых понятий в турбулентности является идея марковской природы процесса по масштабу. Рассмотрим разность скоростей на масштабе r:
δur = u(x + r) − u(x).
Для многих турбулентных потоков (например, для изотропной гомогенной турбулентности) распределение δur может рассматриваться как марковское относительно изменения масштаба r. То есть переход от масштаба r1 к r2 зависит только от δur1, а не от всей цепочки промежуточных масштабов:
P(δur2|δur1, δur0, …) = P(δur2|δur1).
Эта гипотеза существенно облегчает построение моделей переноса энергии через масштабы, позволяя использовать подходы на основе марковских цепей по масштабу, которые связывают детерминированные и стохастические компоненты турбулентного каскада.
Практическое применение марковских процессов в турбулентности требует извлечения коэффициентов A(x) и B(x) из экспериментальных данных или численных симуляций. Для марковского процесса по масштабу эти коэффициенты определяются как пределы:
$$ A(\delta u, r) = \lim_{\Delta r \to 0} \frac{\langle \delta u_{r+\Delta r} - \delta u_r | \delta u_r \rangle}{\Delta r}, $$
$$ B(\delta u, r) = \lim_{\Delta r \to 0} \frac{\langle (\delta u_{r+\Delta r} - \delta u_r)^2 | \delta u_r \rangle}{2 \Delta r}. $$
Здесь условные средние берутся по выборкам данных для фиксированного δur. В турбулентности это позволяет строить стохастические модели каскада энергии, воспроизводящие наблюдаемую интермиттентность и нелинейные корреляции.
Модели каскада энергии Марковские подходы позволяют описывать перенос энергии между масштабами с помощью стохастических дифференциальных уравнений. Это особенно важно для воспроизведения интермиттентных событий малых масштабов, которые не поддаются классическим детерминированным моделям.
Симуляции поля скорости Использование марковских процессов позволяет генерировать поля скорости с корректной статистикой инкрементов на разных масштабах, что важно для численных экспериментов и валидации турбулентных моделей.
Анализ интермиттентности Интермиттентные всплески скорости могут быть эффективно смоделированы через марковские процессы по масштабу, что обеспечивает точное воспроизведение статистических свойств высокой порядка (например, момент 4-го или 6-го порядка).
Для марковских процессов в турбулентности часто используется аналогия с уравнением Ланжевена:
$$ \frac{d \delta u_r}{dr} = A(\delta u_r, r) + \sqrt{2 B(\delta u_r, r)} \, \eta(r), $$
где η(r) — белый шум по масштабу r. Это позволяет перейти от вероятностного описания Фоккера–Планка к генерации траекторий инкрементов скорости и моделированию каскада энергии как стохастического процесса.