Модели случайных полей скорости

В турбулентной среде скорость жидкости или газа в каждой точке пространства представляет собой случайную величину. Моделирование таких полей является фундаментальной задачей для теории турбулентности, поскольку экспериментальные данные редко позволяют полностью охарактеризовать динамику потока. В этом контексте вводятся статистические и стохастические модели, которые описывают поля скорости через функции распределения, корреляционные функции и спектры энергии.

Ключевое требование к моделям случайных полей скорости: они должны отражать основные статистические свойства турбулентности, включая изотропность, однородность, сохранение массы и импульса, а также энергетический спектр Кольмогорова для инертной поддиапазона.

Одномерные стохастические процессы и их обобщение

Для упрощения анализа часто рассматривают одномерные случайные процессы u(t), представляющие изменение скорости вдоль траектории жидкости. Основные характеристики:

  • Матожидание:

⟨u(t)⟩

  • Дисперсия:

σ2 = ⟨[u(t) − ⟨u(t)⟩]2⟩

  • Корреляционная функция:

R(τ) = ⟨u(t)u(t + τ)⟩

Переход к трёхмерным полям скорости u(x, t) требует введения тензорной корреляционной функции:

Rij(r) = ⟨ui(x)uj(x + r)⟩

где i, j = 1, 2, 3. Этот тензор должен удовлетворять условиям симметрии и дивергенции, отражая неразрывность потока (∇ ⋅ u = 0).

Спектральные модели турбулентности

Энергетический спектр E(k) играет центральную роль в описании распределения кинетической энергии по волновым числам. Для изотропной турбулентности спектр удовлетворяет соотношению:

$$ \int_0^\infty E(k) \, dk = \frac{1}{2} \langle \mathbf{u}^2 \rangle $$

Наиболее известная модель — спектр Кольмогорова-1941 для инертной поддиапазона:

E(k) = Cε2/3k−5/3

где ε — скорость переноса энергии по спектру, C — константа Кольмогорова. Модели спектра позволяют генерировать случайные поля скорости через обратное преобразование Фурье:

$$ \mathbf{u}(\mathbf{x}) = \sum_{\mathbf{k}} \hat{\mathbf{u}}(\mathbf{k}) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{x}} $$

При этом амплитуды $\hat{\mathbf{u}}(\mathbf{k})$ выбираются случайными с корреляциями, согласованными с E(k).

Модели гауссовских случайных полей

Гауссовские модели наиболее просты для аналитической обработки. В таком случае поле скорости полностью характеризуется матожиданием и корреляционной функцией.

Преимущества:

  • Легкость вычисления многоточечных корреляций.
  • Возможность построения аналитических решений для пассивного переноса и диффузии.

Недостатки:

  • Не отражают асимметрию распределений турбулентных пульсаций (скью-эффекты).
  • Не учитывают intermittency (вкрапления интенсивных возмущений).

Тем не менее, гауссовские поля часто используются как базовая модель для генерации синтетических турбулентных полей в численных экспериментах.

Модели с конечной дисперсией и когерентными структурами

Для более реалистичного моделирования турбулентности вводятся негауссовские модели, учитывающие:

  1. Высокие моменты распределений (асимметрию и куртозис).
  2. Пространственно-временные когерентные структуры — вихри, струи, фронты сдвига.

Пример подхода: суперпозиция вихрей. Поле скорости строится как сумма случайно расположенных и ориентированных вихревых структур с заданной амплитудой и длиной. Такое поле воспроизводит наблюдаемые структурные особенности турбулентности и корректно отражает спектральные характеристики.

Локальные и многомасштабные модели

В реальных потоках турбулентность проявляется на разных масштабах:

  • Макромасштабы: определяют крупные вихревые структуры и общую переносную способность потока.
  • Микромасштабы: отвечают за диссипацию энергии через вязкость.

Модели, учитывающие масштабную иерархию, обычно строятся с использованием фильтрации и многоуровневой генерации случайных полей, где каждая шкала соответствует своей корреляционной функции и спектру энергии.

Ключевой момент: правильная связь масштабов обеспечивает корректное распределение энергии и правдоподобные статистические характеристики потока.

Оглавление