Модели турбулентности RANS

Модели турбулентности RANS (Reynolds-Averaged Navier–Stokes) являются одним из наиболее применяемых подходов в вычислительной гидродинамике для описания турбулентного движения жидкости или газа. Основная идея заключается в разложении скоростного поля и других величин на среднее и колебательное компоненты.

Пусть поле скорости u(x, t) подчиняется уравнениям Навье–Стокса. В RANS применяется разложение Рейнольдса:

$$ \mathbf{u}(\mathbf{x},t) = \overline{\mathbf{u}}(\mathbf{x}) + \mathbf{u}'(\mathbf{x},t), $$

где $\overline{\mathbf{u}}$ — усреднённая по времени скорость, а u′ — флуктуации турбулентности с нулевым средним ($\overline{\mathbf{u}'} = 0$).

Подставляя это разложение в уравнения Навье–Стокса и усредняя по времени, получаем уравнения RANS:

$$ \rho \left( \overline{\mathbf{u}} \cdot \nabla \overline{\mathbf{u}} \right) = -\nabla \overline{p} + \mu \nabla^2 \overline{\mathbf{u}} - \rho \nabla \cdot \overline{\mathbf{u}' \mathbf{u}'}. $$

Здесь появляется ключевое понятие — тензор Рейнольдса $\overline{\mathbf{u}' \mathbf{u}'}$, который отражает влияние турбулентных флуктуаций на среднее течение. Он является неизвестной величиной, что приводит к необходимости введения моделей замыкания.

Гипотеза Буссинеска

Для замыкания системы уравнений RANS чаще всего применяется гипотеза Буссинеска, аналогия с молекулярной вязкостью:

$$ - \rho \overline{u_i' u_j'} = \mu_t \left( \frac{\partial \overline{u}_i}{\partial x_j} + \frac{\partial \overline{u}_j}{\partial x_i} \right) - \frac{2}{3} \rho k \delta_{ij}, $$

где:

  • μt — турбулентная вязкость,
  • $k = \frac{1}{2} \overline{u'_i u'_i}$ — турбулентная кинетическая энергия,
  • δij — тензор Кронекера.

Ключевой момент: турбулентная вязкость μt является модельной величиной, которую необходимо определить через дополнительные соотношения.

Основные классы моделей RANS

  1. Модели нулевого уравнения (Algebraic models)

    • Турбулентная вязкость задаётся через эмпирические формулы.
    • Пример: модель Смогора-Ламбрина (Smagorinsky) для гидродинамических задач.
    • Используется при простых потоках, где нет сложных градиентов.

  2. Одноуровневые модели (One-equation models)

    • Вводится уравнение для турбулентной кинетической энергии k:

      $$ \frac{\partial k}{\partial t} + \overline{\mathbf{u}} \cdot \nabla k = P_k - \epsilon + \nabla \cdot \left( (\nu + \nu_t / \sigma_k) \nabla k \right), $$

      где Pk — производство турбулентной энергии, ϵ — диссипация, σk — константа модели.

    • Пример: модель Spalart–Allmaras, популярная в авиации.

  3. Двухуровневые модели (Two-equation models)

    • Используются два уравнения: для k и для диссипации ϵ или специфической турбулентной частоты ω.

    • Наиболее известные:

      • k–ε модель

        $$ \frac{\partial \epsilon}{\partial t} + \overline{\mathbf{u}} \cdot \nabla \epsilon = C_{1\epsilon} \frac{\epsilon}{k} P_k - C_{2\epsilon} \frac{\epsilon^2}{k} + \nabla \cdot \left( (\nu + \nu_t / \sigma_\epsilon) \nabla \epsilon \right) $$

        Используется для турбулентных струй, границ и каналов.

      • k–ω модель Более чувствительна к слою пограничного слоя и хорошо описывает близкие к стенке течения.

  4. Реализационные модели (Realisable models)

    • Улучшенные версии k–ε и k–ω, корректирующие физическую реалистичность (неотрицательность μt, k, ϵ).
    • Часто применяются для сложных аэродинамических конфигураций.

Особенности применения моделей RANS

  • Эффективность: позволяют решать задачи на сетках с относительно большим шагом, что снижает вычислительные ресурсы.
  • Ограничения: модели RANS дают средние значения и не описывают флуктуации напрямую.
  • Слои пограничного слоя: требуют дополнительного моделирования или функции y+ для правильного учета вязкого подслоя.
  • Гибридные подходы: иногда RANS комбинируют с LES (Large Eddy Simulation) в зонах с сильной нестационарностью.

Вычисление турбулентной вязкости

Для двухуровневых моделей μt вычисляется по формуле:

$$ \mu_t = C_\mu \rho \frac{k^2}{\epsilon} \quad \text{(k–ε модели)}, \quad \mu_t = \frac{\rho k}{\omega} \quad \text{(k–ω модели)}. $$

Ключевой момент: точность предсказания турбулентного потока напрямую зависит от правильного выбора констант модели и условий на границах.

Ключевые преимущества и недостатки моделей RANS

Преимущества:

  • Низкие вычислительные затраты по сравнению с DNS или LES.
  • Широкое применение в инженерной практике: аэродинамика, гидродинамика, химическая промышленность.
  • Возможность моделирования сложных геометрий и многокомпонентных течений.

Недостатки:

  • Потеря информации о турбулентных флуктуациях.
  • Ограниченная точность при сильных нестационарных и разделяющихся потоках.
  • Зависимость от эмпирических констант и условий на границах.
Оглавление