Неустойчивость Кельвина-Гельмгольца

Определение и физическая суть Неустойчивость Кельвина-Гельмгольца (КГ) возникает на границе двух слоёв жидкости или газа с различными скоростями потока. Физически она проявляется как рост волновых возмущений на интерфейсе двух слоёв, что приводит к образованию завихрений и последующему переходу к турбулентному состоянию. Основная причина возникновения КГ-неустойчивости — наличие сдвига скорости вдоль границы раздела двух сред.

Линейная теория Кельвина-Гельмгольца

Уравнение движения и условие неустойчивости Рассмотрим двухслойный поток с плотностями ρ1 и ρ2, движущимися со скоростями U1 и U2 соответственно. Малая амплитуда возмущений η(x, t) на границе удовлетворяет линейному уравнению:

$$ \frac{\partial^2 \eta}{\partial t^2} + g k \frac{\rho_2 - \rho_1}{\rho_1 + \rho_2} \eta + k^2 \frac{\rho_1 \rho_2}{(\rho_1 + \rho_2)^2} (U_1 - U_2)^2 \eta = 0, $$

где k — волновое число возмущения, а g — ускорение свободного падения.

Критерий возникновения неустойчивости Неустойчивость возникает, когда амплитуда η растёт экспоненциально, что соответствует условию:

$$ (U_1 - U_2)^2 > \frac{2g(\rho_2 - \rho_1)}{k (\rho_1 + \rho_2)}. $$

При этом если плотности слоёв одинаковы (ρ1 = ρ2), неустойчивость возникает при любом ненулевом сдвиге скоростей.

Физическая интерпретация Возмущения на интерфейсе усиливаются за счёт работы силы сдвига. Волны интерфейса растут, перерастают в ряды вихрей, которые могут сливаться, формируя крупные турбулентные структуры.

Энергетический подход

Энергетический анализ показывает, что рост возмущений связан с передачею кинетической энергии основного потока в энергию возмущений. Интеграл кинетической энергии для системы:

$$ E = \frac{1}{2} \int \rho |\mathbf{v}'|^2 \, dV, $$

где v′ — скорость возмущений. При положительном росте амплитуды η энергия возмущений увеличивается, что является признаком линейной неустойчивости.

Роль гравитации Гравитация стабилизирует интерфейс, если плотность верхнего слоя меньше нижнего. В отсутствие гравитации или при равных плотностях рост волны обусловлен исключительно сдвигом скоростей.

Нелинейная стадия развития

Формирование вихревых структур На нелинейной стадии возмущения развиваются в завихрения, образуя характерные “роликовые” структуры (vortex rolls). Эти вихри имеют следующие особенности:

  • Диаметр вихрей пропорционален длине волны возмущения.
  • Взаимодействие вихрей приводит к слиянию и формированию крупных турбулентных зон.
  • Процесс сопровождается усилением диссипации энергии на малых масштабах.

Математические модели Нелинейное развитие описывается уравнением Навье–Стокса с учётом начальных условий, отражающих сдвиг скорости. Часто применяются численные методы: DNS (Direct Numerical Simulation) и LES (Large Eddy Simulation), позволяющие воспроизвести образование вихревых структур и каскад энергии на малых масштабах.

Примеры в природе и технике

  1. Атмосферные явления: волны Кельвина-Гельмгольца на облаках — визуальное проявление неустойчивости.
  2. Океанография: формирование вихрей на границе слоёв с различной температурой или солёностью.
  3. Аэродинамика: сдвиговые слои вокруг крыльев и хвостов самолетов, взаимодействие струй с окружающей средой.
  4. Плазменные потоки: неустойчивость проявляется на границах солнечного ветра и магнитосферы Земли.

Спектральные характеристики

Рост амплитуды по волновым числам Линейная теория КГ показывает, что рост возмущений зависит от длины волны:

  • Слишком длинные волны стабилизируются гравитацией.
  • Короткие волны подавляются вязкостью.
  • Существует диапазон волн с максимальной скоростью роста — наиболее опасные для перехода к турбулентности.

Влияние вязкости Вязкость жидкости уменьшает скорость роста возмущений, особенно на малых масштабах. Для высоко вязких сред линейная стадия может быть почти полностью подавлена.

Оглавление