Неустойчивость Рэлея-Тейлора

Неустойчивость Рэлея-Тейлора (НРТ) возникает на границе раздела двух несмешивающихся жидкостей различной плотности, когда более тяжелая жидкость расположена сверху относительно более легкой в поле тяжести. Этот процесс является фундаментальным для понимания перехода к турбулентности в гравитационно неустойчивых слоях, а также играет ключевую роль в астрофизике, гидродинамике плазмы и инжиниринговых приложениях, включая процессы смешивания и взрывы.

Пусть две несмешивающиеся жидкости с плотностями ρ1 (верхняя, тяжелая) и ρ2 (нижняя, легкая) находятся в поле тяжести g. В стационарном положении интерфейс между жидкостями горизонтален. Возмущения интерфейса обозначим η(x, y, t). Основная цель теории — определить рост этих возмущений со временем.

Линейный анализ неустойчивости

Для малых возмущений применяют линейный подход. Рассматривают идеальные жидкости, описываемые уравнениями Эйлера:

$$ \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \mathbf{g}, \quad \nabla\cdot\mathbf{v} = 0 $$

Для малых возмущений v = v′, p = p0 + p′, η ≪ 1, получаем линейные уравнения для потенциального потока v′ = ∇ϕ:

$$ \nabla^2 \phi = 0, \quad \frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{p'}{\rho} + g\eta = 0 $$

Применяя граничные условия на интерфейсе (z = 0):

  1. Кинематическое условие: скорость интерфейса равна вертикальной скорости жидкости на интерфейсе,

$$ \frac{\partial \eta}{\partial t} = \frac{\partial \phi}{\partial z}\bigg|_{z=0} $$

  1. Динамическое условие: давление непрерывно через интерфейс,

p1′ − p2′ = 0

Для гармонических возмущений η ∼ eik ⋅ x + γt получаем дисперсионное уравнение:

$$ \gamma^2 = g k \frac{\rho_1 - \rho_2}{\rho_1 + \rho_2} $$

где k = |k| — волновое число.

Ключевой момент:

  • Если ρ1 > ρ2, то γ2 > 0, возмущения растут экспоненциально — система неустойчива.
  • Если ρ1 < ρ2, γ2 < 0, система устойчива и возмущения затухают.

Таким образом, линейная теория НРТ определяет начальный рост возмущений.

Влияние поверхностного натяжения

Если жидкости имеют поверхностное натяжение σ, динамическое условие модифицируется:

p1′ − p2′ = −σk2η

Это приводит к измененному дисперсионному соотношению:

$$ \gamma^2 = g k \frac{\rho_1 - \rho_2}{\rho_1 + \rho_2} - \frac{\sigma k^3}{\rho_1 + \rho_2} $$

Вывод:

  • Поверхностное натяжение стабилизирует коротковолновые возмущения.
  • Существует критическое волновое число $k_c = \frac{g (\rho_1 - \rho_2)}{\sigma}$, при котором возмущения перестают расти.

Нелинейная стадия

Линейная теория справедлива лишь на ранних стадиях роста возмущений. По мере увеличения амплитуды начинает проявляться нелинейная динамика, характеризующаяся формированием:

  • «Плюм» (plume) — выступов тяжелой жидкости вниз.
  • «Баббл» (bubble) — выступов легкой жидкости вверх.

Для описания нелинейной стадии используют модели потенциального потока и численные методы:

  1. Модель Хоула (Layzer, 1955): для сферических плюмов в идеальной жидкости.
  2. Модели пузырь-плюм (bubble–spike models): учитывают взаимодействие и слияние структур.

Амплитуда интерфейса растет примерно по закону:

η(t) ∼ αAgt2

где A = (ρ1 − ρ2)/(ρ1 + ρ2) — число Атвуда, α — эмпирический коэффициент роста, t — время.

Турбулентное смешивание

На стадии большого перемещения жидкости влетает в турбулентный режим:

  • Развивается каскад вихрей, формируются сложные интермиттентные структуры.
  • Смесь характеризуется профилями плотности ρ(z, t), зависящими от времени и масштаба.
  • Численные и экспериментальные исследования показывают, что турбулентная зона растет линейно со временем, а коэффициент роста зависит от числа Атвуда и начальной спектральной плотности возмущений.

Влияние вязкости и диффузии

  • Вязкость μ замедляет рост коротковолновых возмущений.
  • Диффузия тепла или массы (например, в термальной или солевой НРТ) приводит к сглаживанию градиентов плотности, снижая число Атвуда и замедляя рост.

Модифицированное дисперсионное уравнение для вязкой жидкости:

$$ \gamma = \sqrt{A g k - \nu^2 k^4} - \nu k^2 $$

где ν — кинематическая вязкость.

Следствие: высокая вязкость стабилизирует коротковолновые моды, но не влияет на длинноволновые.

Экспериментальные методы изучения

  • Лазерная визуализация и трассирующие частицы для отслеживания структуры плюмов и пузырей.
  • Рентгеновские и нейтронные методы для исследования плотностных градиентов.
  • Высокоскоростная съемка для измерения коэффициента роста амплитуды.

Эксперименты подтверждают предсказания линейной теории на ранних стадиях и дают данные для калибровки эмпирических коэффициентов α на стадии турбулентного смешивания.

Ключевые характеристики

  • Число Атвуда A — главный параметр, определяющий интенсивность неустойчивости.
  • Рост амплитуды: линейный на ранней стадии (η ∼ eγt), квадратичный на стадии слабо-нелинейного развития (η ∼ t2), турбулентный на поздней стадии.
  • Спектр возмущений: коротковолновые моды стабилизируются поверхностным натяжением и вязкостью; длинноволновые моды определяют форму крупных структур.
Оглавление