Основы магнитогидродинамики

Основные уравнения магнитогидродинамики

Магнитогидродинамика (МГД) рассматривает взаимодействие проводящей жидкости или плазмы с магнитным полем. Основными уравнениями МГД являются сочетание уравнений гидродинамики и уравнений Максвелла с учетом электропроводности среды.

  1. Уравнение непрерывности для массы:

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0, $$

где ρ — плотность, v — скорость жидкости.

  1. Уравнение движения (на основе уравнения Навье–Стокса с учетом магнитного поля):

$$ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v} \right) = -\nabla p + \mathbf{J} \times \mathbf{B} + \rho \mathbf{g} + \mu \nabla^2 \mathbf{v}, $$

где p — давление, J — плотность тока, B — магнитное поле, g — ускорение силы тяжести, μ — коэффициент динамической вязкости.

  1. Закон Ампера–Максвелла (в квазистатической форме МГД):

$$ \mathbf{J} = \frac{1}{\mu_0} \nabla \times \mathbf{B}, $$

где μ0 — магнитная проницаемость вакуума.

  1. Уравнение магнитной индукции (индукционный уравнение):

$$ \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = \nabla \times (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) + \eta \nabla^2 \mathbf{B}, $$

где $\eta = \frac{1}{\sigma \mu_0}$ — магнитная диффузия, σ — электропроводность жидкости.

  1. Дивергенция магнитного поля:

∇ ⋅ B = 0.

Это условие отражает отсутствие магнитных монополей и сохраняет целостность потока магнитного поля.

Магнитное Рейнольдово число

Ключевым параметром МГД является магнитное Рейнольдово число:

$$ \mathrm{Rm} = \frac{V L}{\eta}, $$

где V — характерная скорость потока, L — характерный размер системы.

  • При Rm ≪ 1 магнитное поле диффундирует, не влияя сильно на поток.
  • При Rm ≫ 1 магнитное поле “заморожено” в жидкости, и динамика потока тесно связана с эволюцией поля.

Волны в магнитогидродинамике

В МГД выделяются несколько типов волн, которые играют ключевую роль в турбулентности:

  1. Альфвеновские волны: поперечные волны, распространяющиеся вдоль линий магнитного поля с скоростью

$$ v_A = \frac{B_0}{\sqrt{\mu_0 \rho}}. $$

Они важны для переноса энергии и импульса в плазме.

  1. Магнитогидродинамические (МГД) сжатые волны:
  • Быстрые волны — распространяются со скоростью, превышающей скорость звука.
  • Медленные волны — скорость меньше звуковой, важны для динамики сильноколеблющихся потоков.

МГД-турбулентность

Магнитное поле вносит дополнительное взаимодействие между масштабами турбулентности:

  • Анизотропия турбулентного потока: наличие сильного магнитного поля приводит к подавлению колебаний вдоль направления поля, турбулентность становится направленно-зависимой.
  • Энергетический спектр: в идеальной МГД турбулентности спектр может отличаться от классического закона Кольмогорова E(k) ∼ k−5/3. Например, в анизотропной МГД наблюдается спектр E(k⟂) ∼ k⟂−5/3 для перпендикулярных масштабов к магнитному полю.
  • Магнитное натяжение и вихревые структуры: магнитное поле может стабилизировать крупномасштабные вихри, но на малых масштабах возникает диссипация через магнитную диффузию.

Влияние магнитной диффузии

Магнитная диффузия η определяет, насколько быстро магнитное поле может “растворяться” в жидкости:

  • На низких Рм турбулентность почти гидродинамическая, поле слабо влияет на динамику.
  • На высоких Рм возникают динамические эффекты типа магнитного переноса энергии между масштабами, генерация тока и магнитных вихрей.

Применения МГД

МГД лежит в основе множества природных и технологических явлений:

  • Астрофизика: динамика солнечного ветра, магнитные поля звезд и аккреционных дисков.
  • Геофизика: процессы в жидком ядре Земли, генерация геомагнитного поля.
  • Инженерные системы: магнитные тормоза, устройства для управления потоками расплавленных металлов, термоядерные установки.

Ключевые моменты

  • МГД объединяет гидродинамику и электромагнетизм, создавая сложные нелинейные взаимодействия.
  • Магнитное Рейнольдово число определяет режим “заморозки” магнитного поля в жидкости.
  • Турбулентность в МГД анизотропна и сильно зависит от структуры магнитного поля.
  • Волны Альфвена и МГД-волны играют фундаментальную роль в переноса энергии и формировании структуры потока.
  • Магнитная диффузия и вязкость задают масштабы диссипации и стабилизации турбулентности.
Оглавление