Основы сжимаемой турбулентности

Сжимаемая турбулентность представляет собой сложное состояние движения жидкости или газа, при котором значительные изменения плотности среды взаимодействуют с хаотическими вихревыми структурами. В отличие от несжимаемой турбулентности, где плотность рассматривается как постоянная величина, сжимаемая турбулентность требует учета звуковых волн, ударных фронтов и энергетических обменов между различными формами энергии.

Уравнения движения и термодинамические соотношения

Основной математический аппарат сжимаемой турбулентности строится на основе уравнений Навье–Стокса для сжимаемой среды в сочетании с уравнением сохранения массы и уравнением состояния.

Уравнение непрерывности:

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0, $$

где ρ — плотность, u — скорость потока.

Уравнение движения (сжимаемые Навье–Стокса):

$$ \frac{\partial (\rho \mathbf{u})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u} \otimes \mathbf{u}) = -\nabla p + \nabla \cdot \boldsymbol{\tau} + \rho \mathbf{f}, $$

где p — давление, τ — тензор вязкости, f — объемные силы.

Энергетическое уравнение:

$$ \frac{\partial E}{\partial t} + \nabla \cdot \big[(E + p)\mathbf{u}\big] = \nabla \cdot (\mathbf{u} \cdot \boldsymbol{\tau}) + \rho \mathbf{u} \cdot \mathbf{f} + Q, $$

где $E = \rho \left( e + \frac{1}{2} \mathbf{u}^2 \right)$ — суммарная энергия, e — внутренняя энергия на единицу массы, Q — тепловой источник.

Уравнение состояния связывает давление, плотность и температуру, например для идеального газа:

p = ρRT,

где R — газовая постоянная, T — температура.

Эти уравнения демонстрируют неразрывную связь динамики, термодинамики и акустических эффектов в сжимаемой турбулентности.

Основные характеристики и параметры

Маховское число M — отношение скорости потока к локальной скорости звука:

$$ M = \frac{|\mathbf{u}|}{c_s}, $$

где cs — скорость звука в среде. Маховское число определяет степень сжимаемости:

  • M < 0.3 — почти несжимаемый режим;
  • 0.3 ≲ M ≲ 1 — умеренная сжимаемость;
  • M > 1 — сверхзвуковой режим, где возникают ударные волны.

Число Рейнольдса Re сохраняет ключевую роль, определяя соотношение инерционных и вязких сил. Для сжимаемой среды важно учитывать его локальное изменение вследствие плотностных колебаний:

$$ Re = \frac{\rho U L}{\mu}. $$

Турбулентная энергия в сжимаемой среде разделяется на:

  • Кинетическую турбулентную энергию $k = \frac{1}{2} \overline{u'_i u'_i}$;
  • Энергию сжимаемых колебаний (плотностные флуктуации), которая выражается через звуковые и ударные компоненты.

Механизмы переноса энергии

В сжимаемой турбулентности наблюдается многоканальный перенос энергии:

  1. Каскад вихрей — как в классической турбулентности, энергия переносится от крупных вихрей к мелким.
  2. Акустическая турбулентность — часть энергии уходит в звуковые колебания, что проявляется как генерация акустических волн.
  3. Компрессионные и ударные эффекты — сверхзвуковая турбулентность характеризуется появлением локальных скачков давления и плотности, через которые энергия преобразуется в тепло.

Моделирование этих процессов требует учета разрыва масштабов: от крупных энергетических вихрей до микромасштабных ударных фронтов.

Структура и масштабирование

В сжимаемой турбулентности введение плотностного фактора изменяет традиционный плотностно-независимый спектр Колмогорова. Для умеренных чисел Маховского наблюдается масштабное разделение:

E(k) ∼ k−5/3  для вихревой энергии,

но добавляется вклад акустической энергии, который может проявляться в более крутых спектрах на высоких волновых числах.

Масштабы турбулентности включают:

  • Интегральный масштаб L — характерный размер крупных вихрей;
  • Кольмогоровский микромасштаб η — на котором вязкость начинает доминировать;
  • Акустический масштаб — длина волны, на которой плотностные колебания становятся заметными.

Особенности сверхзвуковой турбулентности

Сверхзвуковая турбулентность (M > 1) характеризуется:

  • Частыми ударными фронтами, разделяющими поток на локальные области разной плотности;
  • Анизотропной структурой турбулентных вихрей, где продольные компоненты энергии преобладают над поперечными;
  • Усиленным конверсией кинетической энергии в тепло, что изменяет локальный коэффициент вязкости и скорость звука.

Методы численного моделирования таких потоков требуют шок-уловливающих схем и адаптивных сеток для корректного разрешения локальных скачков.

Влияние термодинамических процессов

Тепловое воздействие играет критическую роль:

  • В конвективной турбулентности возникает локальная перегретость и охлаждение, влияющее на плотностные флуктуации;
  • В присутствии химических реакций или фазовых переходов меняется уравнение состояния, что приводит к нестандартной энергетической каскаде;
  • Теплопроводность и вязкость становятся зависимыми от температуры, что усложняет масштабное разделение и динамику мелкомасштабных вихрей.

Подходы к моделированию

Сжимаемую турбулентность исследуют как экспериментально, так и численно. Основные подходы:

  1. Прямое численное моделирование (DNS) — решение уравнений Навье–Стокса с разрешением всех масштабов, включая акустические и ударные волны;
  2. Большой вихревой метод (LES) — разрешает крупные вихри, моделируя мелкомасштабные эффекты, включая компрессионные компоненты;
  3. Рейнольд-усредненные модели (RANS) — используют аппроксимации турбулентных напряжений и включают модели сжимаемости для среднемасштабных расчетов.

Каждый подход требует специфических турбулентных моделей, учитывающих плотностные флуктуации и звуковую компоненту энергии.

Оглавление