Проблема замыкания уравнений турбулентности

Основные уравнения и их усложнение при усреднении

Фундаментальная основа описания турбулентных течений заключается в уравнениях Навье–Стокса, которые в несжимаемом случае имеют вид:

$$ \frac{\partial u_i}{\partial t} + u_j \frac{\partial u_i}{\partial x_j} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_i} + \nu \frac{\partial^2 u_i}{\partial x_j^2}, \quad \frac{\partial u_i}{\partial x_i} = 0 $$

где ui — компоненты скорости, p — давление, ν — кинематическая вязкость, ρ — плотность.

Турбулентность характеризуется сложным взаимодействием широкого спектра масштабов. Для практических расчётов невозможно отслеживать мгновенные поля скорости и давления, поэтому применяется операция усреднения по Рейнольдсу. В результате скорости представляются как сумма средних и пульсационных компонент:

$$ u_i = \overline{u_i} + u_i', \quad p = \overline{p} + p' $$

Подставляя это разложение в уравнения Навье–Стокса и усредняя, получаем систему уравнений Рейнольдса (RANS).

Уравнения Рейнольдса и появление новых членов

Усреднённые уравнения движения имеют вид:

$$ \frac{\partial \overline{u_i}}{\partial t} + \overline{u_j}\frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_j} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial \overline{p}}{\partial x_i} + \nu \frac{\partial^2 \overline{u_i}}{\partial x_j^2} - \frac{\partial \overline{u_i' u_j'}}{\partial x_j} $$

Здесь появляется новый тензор напряжений Рейнольдса:

$$ \tau_{ij} = - \overline{u_i' u_j'} $$

Он описывает перенос импульса пульсациями скорости и играет ключевую роль в динамике турбулентных течений. Именно появление этих корреляционных членов и порождает проблему замыкания: количество неизвестных становится больше числа уравнений.

Сущность проблемы замыкания

Проблема замыкания заключается в том, что при переходе от исходных уравнений к усреднённым возникает бесконечная иерархия уравнений. Для нахождения уравнений для корреляций второго порядка ($\overline{u_i' u_j'}$) необходимо вывести уравнения их эволюции, которые содержат корреляции третьего порядка ($\overline{u_i' u_j' u_k'}$). Для них, в свою очередь, появляются члены четвёртого порядка, и так далее.

Таким образом, при строгом математическом подходе система не имеет естественного завершения, и возникает задача построения замыкающих гипотез, позволяющих выразить высшие корреляции через величины более низкого порядка.

Подходы к замыканию

Существует несколько уровней приближённых моделей:

  1. Модели нулевого порядка (эмпирические формулы) Основаны на экспериментальных данных, например, формула Прандтля для длины смешения. Они применяются для простых течений, но не имеют универсальности.

  2. Одно- и двухпараметрические модели турбулентности

    • k–ε модель: описывает турбулентность через кинетическую энергию турбулентности $k = \tfrac{1}{2} \overline{u_i' u_i'}$ и скорость её диссипации ϵ.
    • k–ω модель: использует вместо ϵ величину ω, характеризующую частоту диссипации энергии. Эти модели представляют собой уравнения переноса для дополнительных скалярных величин, позволяя оценивать напряжения Рейнольдса.

  3. Алгебраические модели напряжений Рейнольдса Применяют аналогию с вязким напряжением, вводя эффективную турбулентную вязкость νt, через которую выражают тензор напряжений:

    $$ \tau_{ij} = 2\nu_t S_{ij} - \tfrac{2}{3}k \delta_{ij} $$

    где Sij — тензор средних скоростей деформаций.

  4. Модели второго порядка (RSM — Reynolds Stress Models) В этих моделях записываются уравнения для самих напряжений Рейнольдса, что позволяет точнее учитывать анизотропию турбулентных течений. Однако для корректного описания требуется замыкание членов, содержащих третьи корреляции.

  5. LES (Large Eddy Simulation) Метод крупных вихрей предполагает разделение масштабов: крупные вихри рассчитываются напрямую, а мелкомасштабные эффекты моделируются с помощью субсеточных моделей. Этот подход более универсален, но требует значительных вычислительных ресурсов.

  6. DNS (Direct Numerical Simulation) Прямое численное моделирование решает уравнения Навье–Стокса без моделей турбулентности, разрешая все масштабы движения. Однако из-за колоссальных требований к вычислительной мощности DNS применим лишь для простых геометрий и малых чисел Рейнольдса.

Ключевые трудности замыкания

  • Анизотропия: простые модели часто предполагают изотропную турбулентность, что не соответствует реальности.
  • Неуниверсальность: модель, хорошо работающая для одного типа течения, может давать большие ошибки для другого.
  • Многообразие масштабов: турбулентность охватывает диапазон от макроскопических вихрей до микроскопических диссипативных структур.
  • Границы и сдвиговые слои: адекватное описание пристеночных течений остаётся одной из главных проблем.

Современные направления исследований

Для преодоления ограничений классических моделей развиваются:

  • гибридные подходы (DES, IDDES), сочетающие RANS и LES;
  • использование машинного обучения для построения замыкающих отношений;
  • статистические методы на основе концепции условных средних;
  • новые вариации субсеточных моделей, учитывающих локальные характеристики турбулентности.

Таким образом, проблема замыкания уравнений турбулентности является не только математическим, но и физическим вызовом: необходимо найти баланс между строгостью описания, универсальностью модели и её вычислительной доступностью.

Оглавление