Прямое численное моделирование

Прямое численное моделирование (ПЧМ, DNS — Direct Numerical Simulation) является наиболее фундаментальным и точным подходом к исследованию турбулентных потоков. В отличие от методов с использованием моделей турбулентности (RANS, LES), DNS полностью разрешает все пространственные и временные шкалы движения жидкости, от крупных энергичных вихрей до мельчайших диссипативных структур, характерных для масштабов Колмогорова.

Уравнения движения и разрешение шкал

Основой ПЧМ является решение полной системы непрерывности и уравнений Навье–Стокса для несжимаемой или слабо сжимаемой жидкости:

$$ \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \nu \nabla^2 \mathbf{u}, \quad \nabla \cdot \mathbf{u} = 0 $$

где u — скорость жидкости, p — давление, ν — кинематическая вязкость.

В ПЧМ критически важно, чтобы сеточная дискретизация была достаточной для разрешения всех динамических шкал турбулентности. Характерной длиной наименьших вихрей является длина Колмогорова:

$$ \eta = \left( \frac{\nu^3}{\epsilon} \right)^{1/4}, $$

где ϵ — скорость диссипации кинетической энергии турбулентности на единицу массы.

Соответственно, шаг сетки Δx должен удовлетворять условию Δx ≲ η, а временной шаг Δt определяется условием численной устойчивости (обычно через CFL-число).

Особенности численной реализации

  1. Методы пространственной дискретизации DNS использует спектральные, компактные конечные разности или высокоточные схемы для минимизации численной диссипации и дисперсии. Спектральные методы особенно эффективны для периодических областей, обеспечивая экспоненциальную сходимость при гладких решениях.

  2. Методы интегрирования во времени Применяются многокаскадные схемы Рунге–Кутты или адаптивные схемы с сохранением точности и устойчивости. Для турбулентных потоков с большими градиентами скорость интегрирования ограничена мелкими шкалами, что делает DNS крайне ресурсоемким.

  3. Граничные условия В DNS важно корректное задание граничных условий:

    • Периодические для простых идеализированных потоков, обеспечивающие отсутствие границ и удобные для спектральных методов.
    • Физические стенки требуют разрешения тонкого пограничного слоя (δ ∼ Re−1/2), что сильно увеличивает размер расчетной сетки.

Масштабы вычислительных ресурсов

ПЧМ — чрезвычайно требовательный метод:

$$ N \sim \left(\frac{L}{\eta}\right)^3 \sim Re^{9/4}, \quad T \sim Re^{3/4} $$

где N — число вычислительных узлов, L — характерный размер потока, Re — число Рейнольдса. Для высоко-турбулентных потоков (Re ~ 106) это делает прямое моделирование практически невозможным на современных вычислительных системах, ограничивая DNS лабораторными и академическими задачами с умеренным Re.

Анализ результатов DNS

DNS позволяет получить подробную структуру турбулентного потока, включая:

  • Полное поле скорости и давления с временным разрешением, достаточным для изучения динамики вихрей;
  • Статистические характеристики, такие как функции корреляции, спектры энергии, интермиттентность;
  • Коэффициенты переноса (массы, импульса, энергии), без аппроксимаций моделей турбулентности;
  • Локальные свойства диссипации, структуры вихрей Колмогорова и субдисипативные явления.

DNS играет ключевую роль в валидации моделей турбулентности, таких как LES или RANS, позволяя проверять гипотезы о масштабной интерпретации турбулентности и эмпирические коэффициенты моделей.

Применение DNS

Прямое численное моделирование используется в:

  • Исследовании канальных и пограничных потоков для изучения пограничного слоя;
  • Анализе смешения и переноса скалярных полей, включая химические реакции;
  • Изучении вихревой динамики и структурных характеристик турбулентности;
  • Проверке гипотез о масштабной структуре турбулентности, таких как законы Колмогорова.

Ограничения и перспективы

Основные ограничения DNS — это высокая вычислительная стоимость и невозможность моделирования потоков с очень большими числами Рейнольдса. Однако с развитием суперкомпьютеров и адаптивных методов сетки DNS постепенно расширяет область применения, позволяя получать детальные данные для сложных конфигураций.

DNS также является основой для гибридных подходов, где высокоточные данные используются для обучения моделей подуровней (subgrid-scale) в LES, повышая точность и снижая вычислительные затраты.

Оглавление