Случайные процессы в турбулентности

Турбулентность — это явление в жидкостях и газах, характеризующееся хаотическим, нерегулярным движением частиц среды, сопровождающимся быстрыми флуктуациями скорости и давления. Для количественного описания таких движений применяется теория случайных процессов.

Случайный процесс в контексте турбулентности определяется как семейство случайных величин {X(t), t ∈ T}, где X(t) характеризует мгновенное значение физической величины (например, компоненты скорости) в момент времени t. Основные свойства таких процессов включают:

  • Стационарность: процесс считается стационарным, если его статистические характеристики (среднее, дисперсия, автокорреляция) не зависят от времени. Для турбулентных потоков часто рассматривают слабо стационарные процессы, где сохраняются только первые два момента.

  • Эргодичность: условие, при котором пространственные или временные усреднения совпадают со статистическим средним по ансамблю. В турбулентности часто предполагают эргодичность для практических расчетов.

  • Автокорреляция: функция автокорреляции R(τ) = ⟨X(t)X(t + τ)⟩ описывает, насколько значения процесса, разделённые интервалом времени τ, взаимосвязаны. Для турбулентного потока характерно быстрое уменьшение корреляции с увеличением τ, что отражает хаотичность движения.

Спектральный анализ турбулентных процессов

Для анализа распределения энергии в турбулентных потоках используется спектральная функция E(k), где k — волновое число. Согласно Колмогорову:

  • В диапазоне инерции (от масштабов больших вихрей до малых) спектр энергии подчиняется закону:

E(k) ∼ ε2/3k−5/3,

где ε — средняя скорость диссипации турбулентной энергии на единицу массы.

  • На больших масштабах энергия переносится крупными вихрями, на малых — диссипируется вязкостью. Этот перенос энергии можно рассматривать как стохастический процесс с локальной самоподобностью.

Ключевой момент: спектральный анализ позволяет перейти от временных рядов к представлению о распределении энергии по масштабам и понять механизм взаимодействия вихрей разного размера.

Статистические моменты и корреляции

Для описания турбулентного потока используются моменты распределения:

  1. Среднее значение:

$$ \overline{X} = \langle X(t) \rangle, $$

характеризует усреднённое поведение потока.

  1. Дисперсия:

$$ \sigma^2 = \langle (X(t) - \overline{X})^2 \rangle, $$

описывает интенсивность флуктуаций.

  1. Ковариация и корреляция:

$$ \text{Cov}(X,Y) = \langle (X - \overline{X})(Y - \overline{Y}) \rangle, \quad \rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}. $$

Используется для анализа взаимодействия различных компонент скорости или давления.

  1. Высшие моменты (асимметрия, эксцесс) дают информацию о редких и экстремальных событиях в турбулентном потоке, например, о внезапных скачках скорости.

Моделирование турбулентных процессов

Для описания случайных процессов в турбулентности применяются следующие подходы:

  • Линеаризованные модели с белым шумом: предполагается, что мелкомасштабные флуктуации представляют собой гауссовский случайный процесс с нулевым средним и известной дисперсией. Позволяет аналитически выводить функции автокорреляции.

  • Стохастические дифференциальные уравнения (СДУ): например, модель Ланжевена для компонент скорости:

$$ dX(t) = -\frac{X(t)}{T_L} dt + \sigma dW(t), $$

где TL — лагранжевское время корреляции, σ — интенсивность флуктуаций, dW(t) — дифференциал винеровского процесса. Это позволяет учитывать динамику мелкомасштабной турбулентности.

  • Многомасштабные модели и фрактальные подходы: описывают турбулентные вихри разного размера как случайные процессы с самоподобной структурой, что связано с концепцией интермиттентности турбулентности.

Пространственно-временные корреляции

В турбулентном потоке важна не только временная, но и пространственная структура:

  • Функция корреляции по расстоянию r:

R(r) = ⟨X(x)X(x + r)⟩,

характеризует, как величины в разных точках связаны друг с другом. На больших расстояниях корреляция падает, что отражает локальный хаос потока.

  • Масштаб интегральной корреляции:

L = ∫0∞R(r) dr,

дает характерный размер крупных вихрей.

  • Масштаб мелкой структуры (колебательная диссипация):

$$ \eta = \left( \frac{\nu^3}{\varepsilon} \right)^{1/4}, $$

где ν — кинематическая вязкость. На этих масштабах преобладают вязкие эффекты.

Вероятностные распределения

Турбулентные флуктуации не всегда гауссовы:

  • Для больших масштабов распределения часто близки к нормальному закону.
  • Для малых масштабов характерны «тяжёлые хвосты», что отражает редкие, но сильные возмущения. Такие распределения описываются законами Леви или расширенными гауссовскими моделями.

Ключевой момент: анализ распределений позволяет оценить экстремальные события в турбулентных потоках, что важно для инженерных приложений.

Оглавление