Смешение в стратифицированных жидкостях

Смешение в стратифицированных жидкостях представляет собой сложный процесс переноса массы, импульса и энергии в присутствии вертикальной плотностной стратификации. В отличие от однородных жидкостей, где турбулентность распространяется свободно, стратификация накладывает ограничения на вертикальные движения, формируя специфические закономерности турбулентного переноса.

Ключевым параметром, характеризующим влияние стратификации на движение, является число Брюанта–Вейссера (N²):

$$ N^2 = \frac{g}{\rho_0} \frac{\partial \rho}{\partial z}, $$

где g — ускорение свободного падения, ρ0 — эталонная плотность, ∂ρ/∂z — вертикальный градиент плотности. Оно определяет частоту внутренней волны в жидкости и ограничивает вертикальные перемещения турбулентных вихрей.

Турбулентность и вертикальные ограничения

В стратифицированной среде вертикальные масштабы турбулентных вихрей ограничены толщиной Боурмана (Ozmidov scale):

$$ L_O = \left(\frac{\epsilon}{N^3}\right)^{1/2}, $$

где ϵ — скорость диссипации турбулентной энергии на единицу массы. Вихри, превышающие LO, разрушаются под действием восстановительной силы стратификации.

Это приводит к анизотропной турбулентности, когда горизонтальные компоненты скорости существенно превышают вертикальные. Горизонтальная турбулентная диффузия обычно значительно больше вертикальной, что критически важно для процессов смешения и переноса веществ.

Внутренние волны и их роль в смешении

В стратифицированной жидкости турбулентность часто сочетается с генерацией внутренних гравитационных волн. Эти волны могут переносить энергию на большие расстояния и способствовать локальному разрушению стратификации, инициируя локальное смешение.

Основные характеристики волн задаются уравнением дисперсии:

$$ \omega^2 = N^2 \frac{k_h^2}{k_h^2 + k_z^2}, $$

где kh и kz — горизонтальная и вертикальная компоненты волнового числа.

Интенсивность смешения определяется как взаимодействие турбулентных вихрей с волновыми полями, что часто выражается через коэффициент турбулентного диффузионного смешения (K). В стратифицированной среде K имеет сложную зависимость от числа Фруда (Fr), характеризующего соотношение турбулентной кинетической энергии и потенциальной энергии стратификации:

$$ Fr = \frac{u'}{L N}, $$

где u′ — характерная турбулентная скорость, L — горизонтальный масштаб вихря.

При Fr ≪ 1 смешение подавлено, вертикальный перенос минимален, а турбулентность становится почти горизонтально-слоистой.

Механизмы генерации турбулентности в стратифицированных потоках

  1. Сдвиговая турбулентность. В области градиента горизонтальной скорости турбулентные вихри могут разрушить стратификацию, если число Ричардсона Ri = N2/(∂U/∂z)2 < 0.25.
  2. Внутренние волны с большим амплитудным градиентом. При критическом наклоне волнового фронта возникает локальная нестабильность и последующее смешение.
  3. Гравитационная конвекция. При обратной стратификации (тяжелее сверху) возникает свободная конвекция, усиливающая вертикальный перенос.

Энергетические аспекты смешения

В стратифицированной среде необходимо учитывать разделение кинетической и потенциальной энергии. Турбулентная кинетическая энергия частично преобразуется в потенциальную энергию через работу против плотностного градиента:

$$ B = - \frac{g}{\rho_0} \langle w \rho' \rangle, $$

где w — вертикальная скорость, ρ′ — флуктуации плотности, B — флюкс потенциальной энергии (buoyancy flux).

Эффективность турбулентного смешения определяется коэффициентом гидродинамической эффективности:

$$ \Gamma = \frac{B}{\epsilon}, $$

который показывает, какая доля диссипируемой турбулентной энергии идет на преодоление стратификации. Для типичных океанических условий Γ ∼ 0.2.

Вертикальные профили смешения

В стратифицированных слоях наблюдаются типичные профили коэффициента вертикального диффузионного смешения Kv(z). Они характеризуются:

  • Низкими значениями в глубокой стабильной стратификации (Kv ∼ 10−6 − 10−5 м²/с).
  • Увеличением в областях с интенсивной турбулентностью или критическими слоями внутренних волн (Kv ∼ 10−4 − 10−3 м²/с).

Математически вертикальное распределение Kv может быть аппроксимировано через модельную зависимость:

$$ K_v = K_0 \left( 1 - \frac{Ri}{Ri_c} \right)^n, \quad Ri < Ri_c, $$

где Ric ≈ 0.25 — критическое число Ричардсона, n ∼ 1 − 2.

Взаимодействие с границами и смешение на малых масштабах

Граничные слои, такие как дно или поверхность, значительно изменяют процесс смешения:

  • Дно: создаются турбулентные вихри за счет сдвигового трения; вертикальные масштабы ограничены стратификацией.
  • Поверхность: ветер и волновая активность формируют турбулентные слои и способствуют смешению при слабой стратификации.

На малых масштабах преобладает турбулентная диффузия, а энергия переносится в сторону более тонких вихрей до диссипации в вязкой жидкости.

Оглавление