Спектральные методы

Спектральные методы являются одним из наиболее мощных инструментов анализа турбулентных течений, позволяя описывать распределение кинетической энергии по масштабам и глубже понимать динамику вихрей различной величины. Основная идея заключается в переходе от пространственного представления поля скорости к его спектральному представлению через преобразование Фурье. Это позволяет отделять крупномасштабные движения от мелкомасштабных и анализировать процессы переноса энергии и диссипации на различных шкалах.

Преобразование Фурье и спектр энергии

Для турбулентного поля скорости u(x, t) спектральное представление определяется как:

$$ \hat{\mathbf{u}}(\mathbf{k},t) = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int_{\mathbb{R}^3} \mathbf{u}(\mathbf{x},t) e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{x}} \, d\mathbf{x}, $$

где k — волновой вектор, соответствующий обратной пространственной шкале. Спектр кинетической энергии E(k) связан с преобразованием Фурье через:

$$ \int_0^\infty E(k) \, dk = \frac{1}{2} \langle |\mathbf{u}|^2 \rangle, $$

где ⟨|u|2⟩ — среднеквадратичное значение скорости.

Ключевой момент: спектр энергии E(k) отражает, какая часть кинетической энергии сосредоточена на волновых числах около k, что соответствует определенному масштабу вихрей l ∼ 1/k.

Энергетический каскад и закон Колмогорова

В развитой турбулентности крупные вихри передают свою энергию меньшим без значительной диссипации — этот процесс называется энергетическим каскадом. В инертной подзоне спектра, где вязкость еще не проявляет влияния, спектр энергии подчиняется закону Колмогорова:

E(k) = CK ε2/3k−5/3,

где ε — скорость диссипации энергии на единицу массы, а CK — константа Колмогорова (порядка 1.5).

Этот закон отражает самоподобие вихрей в инертной подзоне и является фундаментальной основой теории турбулентности.

Фильтрация и разделение масштабов

Спектральный подход естественным образом позволяет фильтровать поле скорости по масштабам. Обозначим фильтр верхних масштабов kc:

$$ \mathbf{u}_<( \mathbf{x},t ) = \sum_{|\mathbf{k}|

что выделяет крупномасштабные структуры. Аналогично можно выделять малые масштабы u>.

Преимущество: возможность исследовать взаимодействие между масштабами, перенос энергии и турбулентные потоки без потери пространственной информации в среднем.

Спектральная диссипация и турбулентные силы

В спектральном пространстве вязкие силы представлены как:

$$ \hat{\mathbf{F}}_\nu(\mathbf{k},t) = -\nu k^2 \hat{\mathbf{u}}(\mathbf{k},t), $$

где ν — кинематическая вязкость. Очевидно, что диссипация растет с k2, что объясняет, почему энергия быстро теряется на малых масштабах.

Ключевой вывод: крупные вихри практически не испытывают вязкого затухания, а малые — диссипируются с высокой скоростью, формируя конечное энергетическое спектральное распределение.

Спектральные методы численного моделирования

Вычислительные спектральные методы широко применяются для:

  1. Прямого численного моделирования (DNS) — разрешение всех масштабов вплоть до диссипативного.
  2. Методов больших вихрей (LES) — разделение масштабов на крупные, которые моделируются напрямую, и малые, учитываемые через субсеточную модель.

Основное преимущество спектральных методов: высокая точность дифференцирования, возможность анализа переноса энергии между масштабами и эффективное использование периодических граничных условий.

Спектр скаляров и турбулентный перенос

Не только скорость, но и скаляры (температура, концентрация примесей) имеют спектральное распределение:

$$ \hat{\theta}(\mathbf{k},t) = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int \theta(\mathbf{x},t) e^{-i \mathbf{k}\cdot \mathbf{x}} \, d\mathbf{x}, $$

с соответствующим спектром Eθ(k). Для пассивного скаляра в инертной подзоне закон Кольмо́горова–Обухова:

Eθ(k) = Cθ εθ ε−1/3k−5/3,

где εθ — скорость диссипации вариаций скаляра.

Это позволяет количественно описывать турбулентное перемешивание и перенос примесей на разных масштабах.

Анизотропия и модификации спектральных методов

Реальные потоки часто анизотропны или имеют границы. В таких случаях спектральные методы модифицируются:

  • Частично спектральные схемы — спектральное представление в одном направлении, дискретизация по другим.
  • Спектральные фильтры с окнами — уменьшение влияния границ на спектр.
  • Гибридные методы — комбинация спектральных и конечных разностей для сложных геометрий.

Эти подходы сохраняют преимущества точного спектрального анализа при моделировании реальных условий.

Оглавление