Статистическая теория локально изотропной турбулентности рассматривает сложное движение жидкости как совокупность случайных полей скорости и давления, обладающих статистическими свойствами, инвариантными относительно поворотов пространства. Основное предположение заключается в том, что на малых масштабах турбулентности (в так называемом инерционном диапазоне) движение становится статистически изотропным и однородным, независимо от конкретных граничных условий и крупномасштабной структуры потока.
Пусть v(x, t) — вектор скорости в точке x в момент времени t. Тогда статистическое описание турбулентного потока строится на основе моментов и корреляционных функций поля скорости:
⟨v(x, t)⟩ = U(x, t),
где угловые скобки обозначают статистическое усреднение, например, по времени или по ансамблю реализаций.
u(x, t) = v(x, t) − U(x, t).
Rij(r) = ⟨ui(x)uj(x + r)⟩,
где r — вектор смещения между точками.
В локально изотропной турбулентности корреляционная функция зависит только от модуля вектора смещения r = |r|, а не от его направления:
Rij(r) = Rij(r).
Средняя кинетическая энергия единицы массы турбулентного потока определяется как
$$ k = \frac{1}{2} \langle u_i u_i \rangle. $$
В инерционном диапазоне, где вязкость жидкости не играет существенной роли, происходит перенос энергии от крупных вихрей к мелким (каскад энергии Колмогорова). Скорость переноса энергии ε считается постоянной на промежутке масштабов, что позволяет формализовать универсальные законы.
Функции структуры являются фундаментальным инструментом статистического анализа турбулентности. Для локально изотропного поля первого порядка они определяются как моменты разности скорости в двух точках:
$$ S_n(r) = \langle [(\mathbf{u}(\mathbf{x} + \mathbf{r}) - \mathbf{u}(\mathbf{x})) \cdot \hat{\mathbf{r}}]^n \rangle. $$
Особое значение имеет вторая функция структуры, связанная с корреляционной функцией через соотношение:
S2(r) = 2(k − RLL(r)),
где RLL(r) — продольная компонентa корреляционной функции вдоль направления r.
В классической теории Колмогорова (K41) предполагается, что в инерционном диапазоне выполняется масштабный закон:
S2(r) = C2(εr)2/3,
где C2 — безразмерная константа, а ε — скорость диссипации кинетической энергии.
Энергетический спектр E(k) определяет распределение кинетической энергии по волновым числам k:
$$ k = |\mathbf{k}|, \quad \frac{1}{2} \langle u_i u_i \rangle = \int_0^\infty E(k) \, dk. $$
В локально изотропной турбулентности спектр энергии в инерционном диапазоне подчиняется закону Колмогорова:
E(k) = CKε2/3k−5/3,
где CK — константа Колмогорова. Этот закон отражает самоподобие турбулентного поля на промежуточных масштабах, между крупными вихрями и малыми диссипативными структурами.
Вязкое рассеяние энергии на малых масштабах описывается законом:
ε = 2ν⟨SijSij⟩,
где ν — кинематическая вязкость жидкости, а $S_{ij} = \frac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)$ — тензор деформации скорости.
Малые масштабы, где доминирует вязкость, характеризуются длиной Колмогорова:
$$ \eta = \left( \frac{\nu^3}{\varepsilon} \right)^{1/4}, $$
временем Колмогорова:
$$ \tau_\eta = \left( \frac{\nu}{\varepsilon} \right)^{1/2}, $$
и скоростью Колмогорова:
uη = (νε)1/4.
Для более точного описания турбулентности необходимо учитывать третий порядок корреляций, которые отвечают за перенос энергии в инерционном диапазоне. Например, продольная третья функция структуры S3(r) удовлетворяет известному соотношению 4/5 закона Колмогорова:
$$ S_3(r) = \langle [ (\mathbf{u}(\mathbf{x} + \mathbf{r}) - \mathbf{u}(\mathbf{x})) \cdot \hat{\mathbf{r}} ]^3 \rangle = -\frac{4}{5} \varepsilon r. $$
Это одно из немногих точных результатов в статистической теории турбулентности. Оно связывает линейный перенос энергии в пространстве с масштабной структурой вихрей.
Одним из ключевых постулатов локально изотропной турбулентности является универсальность малых масштабов: их статистические свойства зависят только от ε и ν, а не от формы и размеров крупных структур потока. Это позволяет строить общие модели диссипативной шкалы и прогнозировать спектры и функции структуры для широкого класса турбулентных потоков.
В практических исследованиях используются:
Эти методы позволяют построить количественную статистическую картину турбулентного поля и выявить универсальные закономерности, применимые для инженерных и физико-математических моделей.