Турбулентные потоки характеризуются высокой степенью хаотичности, что делает невозможным их полное описание с помощью детерминированных уравнений движения для каждой точки пространства. Вместо этого применяется статистический подход, который оперирует не самими мгновенными величинами, а их средними значениями и статистическими корреляциями. Основными объектами являются поля скорости, давления и плотности, представленные в виде разложения на среднюю и флуктуирующую части:
$$ u_i(\mathbf{x},t) = \overline{u_i}(\mathbf{x},t) + u_i'(\mathbf{x},t), $$
где $\overline{u_i}$ — усреднённая скорость, а ui′ — пульсационная (турбулентная) составляющая. Подобное разложение впервые было предложено Рейнольдсом и стало основой статистической теории турбулентности.
Подставляя разложение в уравнения Навье–Стокса и усредняя, получают систему уравнений для средних величин. Важным результатом является появление дополнительных членов — так называемых напряжений Рейнольдса:
$$ \tau_{ij} = - \rho \, \overline{u_i' u_j'}. $$
Эти тензорные величины характеризуют перенос импульса за счёт турбулентных флуктуаций. Таким образом, задача сводится к нахождению выражений для корреляций второго порядка, что приводит к необходимости построения замыкающих моделей.
Для анализа турбулентных флуктуаций вводятся корреляционные функции. Наиболее часто используется двухточечная корреляционная функция скорости:
$$ R_{ij}(\mathbf{r},t) = \overline{u_i'(\mathbf{x},t) u_j'(\mathbf{x}+\mathbf{r},t)}. $$
Эта функция описывает, насколько значения пульсаций в разных точках пространства связаны между собой. Характерным масштабом является длина корреляции, указывающая на пространственный размер турбулентных вихрей.
Переход от пространственного описания к спектральному осуществляется с помощью преобразования Фурье. В спектральной области вводится энергетический спектр:
$$ E(k) \quad \text{такой, что} \quad \int_0^\infty E(k) \, dk = \frac{1}{2} \overline{u_i' u_i'}. $$
Функция E(k) характеризует распределение кинетической энергии турбулентных флуктуаций по волновым числам k. При больших масштабах наблюдается энергия, связанная с крупными вихрями, а при больших k — с мелкомасштабными структурами.
А. Н. Колмогоров предложил универсальную теорию турбулентности, справедливую для высоких чисел Рейнольдса. Согласно этой теории, в диапазоне волновых чисел, где вязкость несущественна, а энергия ещё не диссипирована, реализуется так называемый инерционный диапазон.
Закон Колмогорова для спектра в инерционном диапазоне имеет вид:
E(k) ∼ ε2/3k−5/3,
где ε — скорость диссипации энергии на единицу массы. Это выражение подтверждено многочисленными экспериментами и численными расчётами и является одним из краеугольных камней статистической теории турбулентности.
Колмогоров также вывел фундаментальное уравнение для двухточечных корреляций в предположении изотропной турбулентности. Оно связывает производные корреляционной функции с диссипацией энергии и позволяет выводить универсальные соотношения для статистики пульсаций.
Особое значение имеет четырёхпятых закон Колмогорова:
$$ \overline{( \Delta u_\parallel (r) )^3} = - \frac{4}{5} \varepsilon r, $$
где Δu∥(r) — продольная разность скоростей на расстоянии r. Этот закон является единственным строгим результатом в классической теории турбулентности, подтверждённым и теорией, и экспериментом.
Хотя теория Колмогорова предсказывает универсальность статистики второго порядка, реальные турбулентные течения демонстрируют отклонения в поведении высших моментов. Эти отклонения связаны с явлением интермиттенции, то есть нерегулярного распределения интенсивных диссипативных структур в пространстве. Интермиттенция приводит к более сложным спектрам и необходимости введения обобщённых моделей.
В статистическом описании часто рассматривается идеализированный случай изотропной турбулентности, где статистические характеристики не зависят от направления. Такой подход позволяет строить универсальные законы, однако в реальных потоках присутствуют анизотропные эффекты, связанные с границами, внешними силами или наличием средних градиентов. Для описания таких случаев используются тензорные разложения корреляционных функций и введение дополнительных параметров.
Проблема статистического описания заключается в том, что уравнения для корреляций низшего порядка содержат величины более высокого порядка (так называемая иерархия уравнений), что делает систему незамкнутой. Для решения применяются различные приближения:
Каждое приближение имеет свои ограничения и области применимости.
Современные исследования в области статистики турбулентности сосредоточены на следующих направлениях: