Тензорные методы описания турбулентности

Тензорные методы в физике турбулентности позволяют описывать сложные многомерные корреляции в поле скоростей и других гидродинамических величин. Основной объект анализа — тензорные корреляционные функции, которые дают полное статистическое описание поля.

Для турбулентного поля скоростей u(x, t) второго порядка фундаментальной является функция корреляции:

R_ij(r, t) = ⟨u_i(x, t)u_j(x + r, t)⟩,

где i, j = 1, 2, 3 — пространственные компоненты скорости, а угловые скобки ⟨⋅⟩ обозначают статистическое усреднение. Этот тензор является симметричным относительно индексов i и j, а для изотропной турбулентности он может быть представлен через две скалярные функции:

$$ R_{ij}(\mathbf{r}) = \left(\delta_{ij} - \frac{r_i r_j}{r^2}\right) F(r) + \frac{r_i r_j}{r^2} G(r), $$

где F(r) и G(r) — продольная и поперечная корреляционные функции соответственно.

Тензор напряжений в турбулентном потоке

Ключевым понятием для описания влияния турбулентности на среднее течение является тензор Рейнольдса:

τ_ij = −ρ⟨u_i′u_j′⟩,

где u_i′ = u_i − ⟨u_i⟩ — флуктуационная компонента скорости, а ρ — плотность жидкости. Тензор Рейнольдса является основной характеристикой передачи импульса в турбулентной среде и входит в уравнения среднего движения:

$$ \rho \frac{\partial \langle u_i \rangle}{\partial t} + \rho \langle u_j \rangle \frac{\partial \langle u_i \rangle}{\partial x_j} = - \frac{\partial \langle p \rangle}{\partial x_i} + \mu \frac{\partial^2 \langle u_i \rangle}{\partial x_j \partial x_j} + \frac{\partial \tau_{ij}}{\partial x_j}. $$

Тензор Рейнольдса обладает следующими свойствами: симметрия τ_ij = τ_ji, положительная определённость, и его след τ_ii связан с кинетической энергией турбулентных флуктуаций.

Эволюционные уравнения тензоров второго порядка

Для полноты статистического описания турбулентности вводят уравнение Кельвина–Кассаграна или уравнение для корреляционного тензора второго порядка. В инкомпрессибельной среде оно имеет вид:

$$ \frac{\partial R_{ij}}{\partial t} + \langle u_k \rangle \frac{\partial R_{ij}}{\partial x_k} = P_{ij} - \varepsilon_{ij} + T_{ij}, $$

где:

$P_{ij} = - \left( R_{ik} \frac{\partial \langle u_j \rangle}{\partial x_k} + R_{jk} \frac{\partial \langle u_i \rangle}{\partial x_k} \right)$ — продукция турбулентной энергии из среднего потока;
$\varepsilon_{ij} = 2 \nu \langle \frac{\partial u_i}{\partial x_k} \frac{\partial u_j}{\partial x_k} \rangle$ — тензор диссипации;
$T_{ij} = - \frac{\partial}{\partial x_k} \langle u_i u_j u_k \rangle - \frac{1}{\rho} \left\langle u_i \frac{\partial p}{\partial x_j} + u_j \frac{\partial p}{\partial x_i} \right\rangle$ — перенос турбулентной энергии и влияние давления.

Эти уравнения являются фундаментальными, но не замкнутыми, поскольку включают третий порядок тензоров, что приводит к необходимости моделей замыкания.

Тензорные замкнутые модели турбулентности

Для практических расчетов используются модели замыкания, выражающие тензор Рейнольдса через средние градиенты скорости. Наиболее известная из них — линейная гипотеза Б. Б. Б. Боуэрса, или модель Эдди-Вискозити:

$$ \tau_{ij} = 2 \mu_t S_{ij} - \frac{2}{3} k \delta_{ij}, $$

где:

μ_t — турбулентная вязкость;
$S_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial \langle u_i \rangle}{\partial x_j} + \frac{\partial \langle u_j \rangle}{\partial x_i} \right)$ — тензор деформации среднего потока;
$k = \frac{1}{2} \langle u_i' u_i' \rangle$ — турбулентная кинетическая энергия.

Более сложные модели включают уравнения переноса для каждого компонента тензора Рейнольдса, учитывающие анизотропию и нестационарность турбулентного поля.

Применение тензорных методов

Анализ анизотропной турбулентности: тензорный подход позволяет учитывать различную интенсивность флуктуаций по направлениям, что важно для геофизических и аэродинамических потоков.
Численные методы: в методах LES (Large Eddy Simulation) и RANS (Reynolds-Averaged Navier–Stokes) тензоры второго порядка используются для моделирования турбулентных стрессов и фильтровки мелкомасштабной структуры поля.
Экспериментальные корреляции: измерение компонент корреляционного тензора позволяет построить модели турбулентной передачи энергии и давления в лабораторных потоках.

Важные свойства тензоров в турбулентности

Симметрия: R_ij = R_ji, τ_ij = τ_ji.
Положительная определённость: ⟨u_iu_i⟩ ≥ 0.
Трассированная связь с энергией: Tr(τ_ij) = 2ρk.
Инвариантность при повороте системы координат: фундаментальные уравнения и модели должны сохранять тензорные свойства при смене базиса.

Тензорные методы позволяют перейти от качественного описания турбулентности к количественному анализу сложных потоков с анизотропией и нестационарными флуктуациями. Они являются основой современных подходов к численному и экспериментальному исследованию турбулентных полей.