Уравнения Навье-Стокса для турбулентных течений

Уравнения Навье–Стокса представляют собой фундаментальный инструмент для описания движения вязкой жидкости или газа. В турбулентных течениях они приобретают особую сложность, так как включают хаотические и непредсказуемые флуктуации скорости и давления. Рассмотрим их структуру и особенности применения к турбулентным потокам.

1. Классическая форма уравнений Навье–Стокса

Для несжимаемой жидкости уравнения имеют вид:

$$ \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \nu \nabla^2 \mathbf{u} + \mathbf{f}, $$

где:

  • u(x, t) — поле скорости;
  • p(x, t) — давление;
  • ρ — плотность жидкости (постоянная для несжимаемой жидкости);
  • ν — кинематическая вязкость;
  • f — внешние силы (например, гравитация).

Уравнение сопровождается условием несжимаемости:

∇ ⋅ u = 0.

В турбулентных потоках u содержит как среднюю скорость, так и быстро изменяющиеся флуктуации.

2. Разделение на среднюю и флуктуационную компоненты

Для анализа турбулентности используют разложение по Рейнольдсу:

$$ \mathbf{u} = \overline{\mathbf{u}} + \mathbf{u}', $$

$$ p = \overline{p} + p', $$

где $\overline{\mathbf{u}}$ и $\overline{p}$ — усреднённые по времени компоненты, а u′ и p′ — флуктуации. Подставляя это разложение в исходные уравнения и усредняя, получают уравнения Рейнольдса для турбулентного потока (RANS):

$$ \frac{\partial \overline{\mathbf{u}}}{\partial t} + (\overline{\mathbf{u}} \cdot \nabla)\overline{\mathbf{u}} = -\frac{1}{\rho} \nabla \overline{p} + \nu \nabla^2 \overline{\mathbf{u}} - \nabla \cdot \overline{\mathbf{u}' \mathbf{u}'} + \mathbf{f}. $$

3. Тензор Рейнольдса

Ключевым элементом турбулентных уравнений является тензор Рейнольдса:

$$ R_{ij} = \overline{u_i' u_j'}. $$

Он описывает перенос импульса флуктуациями турбулентного поля и вводит дополнительную неизвестную величину. Это создаёт замкнутую проблему уравнений: на одну новую неизвестную добавляется ещё несколько, что требует моделей турбулентности для закрытия системы.

4. Моделирование турбулентности

Для практических расчетов необходимо использовать турбулентные модели, такие как:

  • Модель Boussinesq: вводит турбулентную вязкость νt и аппроксимирует тензор Рейнольдса как:

$$ R_{ij} = -\nu_t \left( \frac{\partial \overline{u}_i}{\partial x_j} + \frac{\partial \overline{u}_j}{\partial x_i} \right) + \frac{2}{3} k \delta_{ij}, $$

где $k = \frac{1}{2} \overline{u'_i u'_i}$ — турбулентная кинетическая энергия;

  • k–ε и k–ω модели: решают дополнительные уравнения для турбулентной энергии и диссипации;
  • Большие вихревые симуляции (LES): разрешают крупные вихри, а малые моделируются;
  • Прямые численные симуляции (DNS): полностью разрешают все масштабы турбулентности, но крайне требовательны к вычислительным ресурсам.

5. Энергетический баланс в турбулентном потоке

Турбулентность переносит и перераспределяет кинетическую энергию на разных масштабах. Для усреднённых уравнений Рейнольдса можно записать уравнение для турбулентной кинетической энергии k:

$$ \frac{\partial k}{\partial t} + \overline{u}_j \frac{\partial k}{\partial x_j} = P - \varepsilon + T, $$

где:

  • $P = - \overline{u_i' u_j'} \frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_j}$ — производство турбулентной энергии;
  • ε — диссипация энергии на малых масштабах;
  • T — транспорт турбулентной энергии за счет конвекции и диффузии.

Этот баланс является центральным для понимания механизмов образования и затухания турбулентных вихрей.

6. Особенности численного решения

Решение уравнений Навье–Стокса для турбулентных течений требует:

  • тщательной дискретизации пространства и времени;
  • корректного моделирования граничных условий;
  • стабилизации численных схем для предотвращения неустойчивых решений.

Для турбулентных потоков часто используют неявные методы, адаптивные сетки и методы разложения по масштабам, чтобы захватить широкий спектр вихревых структур.

7. Физическая интерпретация

  • Нелинейность: терм (u ⋅ ∇)u является источником переноса энергии между различными масштабами.
  • Вязкость: ν∇2u диссипирует энергию на малых масштабах, влияя на устойчивость потока.
  • Турбулентные флуктуации: флуктуации скорости создают дополнительный стресс (тензор Рейнольдса), который может быть визуализирован как хаотические вихри, переносящие импульс и энергию.
Оглавление