Акустические и оптические ветви

Акустические и оптические ветви в колебательном спектре твёрдого тела

Кристаллическая решётка состоит из периодически расположенных атомов или ионов, каждый из которых может совершать малые колебания около положения равновесия. Эти колебания описываются в рамках модели фононов — квазичастиц, отражающих кванты колебательной энергии. В случае, когда элементарная ячейка содержит более одного атома, спектр колебаний разделяется на акустические и оптические ветви.

Уравнение движения для диатомной цепочки

Рассмотрим одномерную цепочку, элементарная ячейка которой содержит два различных атома массами m1 и m2, связанных между собой пружинами с постоянной силой C. Пусть un и vn — смещения от положения равновесия для атомов масс m1 и m2 в ячейке с номером n.

Уравнения движения записываются как:

$$ m_1 \ddot{u}_n = C (v_n - u_n) + C (v_{n-1} - u_n), $$

$$ m_2 \ddot{v}_n = C (u_n - v_n) + C (u_{n+1} - v_n). $$

Предполагая плоские волны:

un = u ei(qna − ωt),  vn = v ei(qna − ωt),

получаем систему алгебраических уравнений на u и v, откуда выводится дисперсионное соотношение ω(q).

Дисперсионные кривые и классификация ветвей

Решение уравнения на ω даёт две ветви дисперсии:

  • Акустическая ветвь (низкочастотная):

    ωac(q) ≈ vs|q|  при  q → 0,

    где vs — скорость звука. В этой моде соседние атомы колеблются в фазе.

  • Оптическая ветвь (высокочастотная):

    ωopt(q) → ω0  при  q → 0,

    где ω0 — характерная частота оптической моды. В этой моде атомы в ячейке колеблются в противофазе.

График ω(q) состоит из двух отдельных ветвей, разделённых запрещённой зоной (в общем случае) при q = 0. Это означает, что при малых волновых векторах невозможно возбуждение колебаний с частотами между акустической и оптической ветвями.

Физический смысл акустических мод

Акустические моды соответствуют коллективным колебаниям, в которых соседние атомы совершают движения, близкие к равномерному переносу кристалла как целого. Именно они ответственны за передачу звука в твёрдом теле. При q → 0 все атомы движутся синфазно, и волна представляет собой продольное или поперечное упругое возмущение. Количество акустических ветвей зависит от размерности пространства: в 3D — три акустические моды (одна продольная и две поперечные).

Физический смысл оптических мод

Оптические моды связаны с относительным смещением атомов внутри элементарной ячейки. В них атомы с разной массой и/или зарядом движутся в противофазе, создавая переменный электрический диполь. Такие моды особенно важны в ионных кристаллах (например, NaCl), где они могут взаимодействовать с электромагнитным излучением — отсюда и название “оптические”.

При взаимодействии с ИК-излучением именно оптические фононы могут возбуждаться, что делает возможным инфракрасную спектроскопию фононных мод.

Количество и типы мод

Если в элементарной ячейке содержится r атомов, то общее число независимых колебательных ветвей будет равно 3r. Из них:

  • 3 акустические моды — всегда присутствуют (1 продольная, 2 поперечные);
  • 3r − 3 оптических моды — зависят от состава и симметрии решётки.

Например, в кристалле с двумя атомами в ячейке (NaCl, диатомная цепь) всего 6 мод: 3 акустические и 3 оптические.

Влияние массы и жёсткости связи

Положение и форма ветвей зависят от физических параметров:

  • Разница в массах m1 и m2 влияет на частоту оптической ветви: чем больше контраст масс, тем выше разрыв между ветвями;
  • Постоянная силы C влияет на “жесткость” ветвей: более прочные связи дают более высокие частоты.

При одинаковых массах m1 = m2 оптическая ветвь стремится к нулю при q → 0, сливаясь с акустической.

Примеры и наблюдения

  • В металлах, где атомы одного типа, оптические ветви отсутствуют: все атомы эквивалентны, и в ячейке один атом.
  • В диэлектриках и полупроводниках типа ZnS, GaAs, SiC оптические моды играют ключевую роль в теплоёмкости, теплопроводности и взаимодействии с ИК-излучением.
  • В градиентных структурах, мультислоях и квазикристаллах спектр может содержать псевдооптические моды и зоны пропускания с более сложной структурой.

Экспериментальное наблюдение

Фононные ветви определяются с помощью:

  • неупругого нейтронного рассеяния — прямое измерение зависимости ω(q);
  • Раман-спектроскопии — чувствительна к оптическим фононам при q ≈ 0;
  • ИК-спектроскопии — позволяет наблюдать инфракрасно-активные оптические моды.

Эти методы подтверждают существование оптических и акустических ветвей, их частот и симметрии.

Роль в теплофизике и транспорте

Акустические фононы — главные переносчики тепла в изолирующих кристаллах. Их взаимодействие определяет теплопроводность. Оптические фононы, обладая большей энергией и меньшей групповой скоростью, вносят вклад в теплоёмкость при высоких температурах, но слабо участвуют в теплопереносе.

В спинтронике и термоэлектрике контроль над дисперсией фононов (в том числе оптических) позволяет манипулировать тепловыми потоками и снижать теплопроводность.

Анизотропия и дисперсионные поверхности

В трёхмерных кристаллах дисперсионные отношения зависят от направления вектора волны q. Для каждого направления изменяется скорость звука, разделение между модами, наличие вырожденных оптических мод. Поверхности постоянной частоты ω(q) = const представляют собой сложные фигуры, отражающие симметрию кристалла.

Взаимодействие с другими возбуждениями

Оптические фононы взаимодействуют с:

  • электронами (через механизм электро-фононного взаимодействия);
  • магнонами (в магнетиках — фонон-магнонное взаимодействие);
  • фотонами (формируя поляритоны — гибриды света и фонона).

Эти процессы важны для описания сверхпроводимости, туннельных эффектов и ряда оптических явлений в твёрдом теле.

Оглавление