Диффузия и дрейф носителей в твёрдом теле
В твёрдом теле подвижные носители заряда — электроны проводимости и дырки — могут перемещаться как за счёт теплового движения, так и под действием внешних силовых полей. В отсутствие внешних полей перенос зарядов обусловлен диффузией — направленным переносом частиц из областей с большей концентрацией в области с меньшей. При наличии электрического поля возникает дрейф — движение носителей в направлении действия силы Лоренца, сопровождаемое появлением электрического тока. В реальных условиях оба механизма сосуществуют и влияют на распределение и динамику носителей.
Диффузия представляет собой статистически обусловленный перенос частиц в результате их случайного теплового движения. Основной количественной характеристикой является коэффициент диффузии D, связанный с плотностью потока частиц J⃗диф через градиент концентрации ∇n:
J⃗диф = −D∇n
Отрицательный знак указывает на то, что поток направлен в сторону уменьшения концентрации. Аналогичное выражение применимо и к дыркам:
J⃗p, диф = −Dp∇p
где Dp — коэффициент диффузии дырок.
Закон сохранения носителей приводит к уравнению диффузии:
$$ \frac{\partial n}{\partial t} = D \nabla^2 n $$
Это уравнение описывает эволюцию пространственного распределения носителей во времени при наличии только диффузионного механизма.
Если на носители действует электрическое поле E⃗, то они испытывают направленное ускорение, которое уравновешивается столкновениями с атомами решётки, дефектами или другими носителями. Установившееся среднее движение описывается дрейфовой скоростью:
v⃗др = μE⃗
где μ — подвижность носителей заряда, зависящая от их природы и температуры.
Соответственно, дрейфовая плотность тока для электронов и дырок имеет вид:
J⃗n, др = qnμnE⃗, J⃗p, др = qpμpE⃗
где q — элементарный заряд, n, p — концентрации электронов и дырок, μn, μp — их подвижности.
В условиях, когда одновременно действуют как электрическое поле, так и градиенты концентрации, общая плотность тока для электронов и дырок включает оба вклада:
J⃗n = qnμnE⃗ − qDn∇n
J⃗p = qpμpE⃗ − qDp∇p
Эти выражения широко применяются в анализе процессов в полупроводниках, включая работу p–n-переходов, транзисторов и других устройств.
В условиях теплового равновесия диффузионный и дрейфовый процессы связаны соотношением:
$$ \frac{D}{\mu} = \frac{k_B T}{q} $$
где kB — постоянная Больцмана, T — температура в кельвинах. Это соотношение Эйнштейна подтверждается как теоретически, так и экспериментально и играет важную роль в моделировании носителей в полупроводниках.
Диффузионная длина L характеризует среднее расстояние, которое проходит носитель до рекомбинации:
$$ L = \sqrt{D \tau} $$
где τ — время жизни носителя. Соответственно, для электронов и дырок:
$$ L_n = \sqrt{D_n \tau_n}, \quad L_p = \sqrt{D_p \tau_p} $$
Эта величина имеет важное значение при проектировании устройств, где необходимо учитывать, насколько далеко может «уходить» неравновесный носитель.
Подвижность носителя связана с временем релаксации τ через эффективную массу m*:
$$ \mu = \frac{q \tau}{m^*} $$
Время релаксации отражает среднее время между двумя актами рассеяния. Основные механизмы рассеяния в твёрдом теле включают:
Эти механизмы существенно влияют на переносные свойства материала, включая подвижность и проводимость.
В кристаллах с симметричной зонной структурой возможна приблизительная симметрия свойств электронов и дырок. Однако в реальных полупроводниках наблюдается значительная асимметрия, обусловленная различиями в эффективных массах и подвижностях:
μn > μp, Dn > Dp
Эта асимметрия приводит к отличиям в динамике и влиянию носителей разных типов на электропроводность, особенно в несимметрично легированных структурах.
Во многих устройствах полупроводниковой электроники, таких как диоды, солнечные элементы, светодиоды и биполярные транзисторы, пространственные распределения носителей изменяются вследствие:
Диффузия обеспечивает перераспределение инжектированных носителей, в то время как дрейф ускоряет или препятствует этому процессу, в зависимости от ориентации поля.
В условиях сильных электрических полей или при высокой интенсивности освещения поведение носителей отклоняется от линейных приближений. Возможны следующие эффекты:
Эти явления требуют более сложного моделирования, включая использование транспортных уравнений Больцмана или численного решения уравнений Дрифта-Диффузии.
Полное описание переноса носителей включает уравнения:
$$ \frac{\partial n}{\partial t} = \nabla \cdot (D_n \nabla n - \mu_n n \vec{E}) + G - R $$
$$ \frac{\partial p}{\partial t} = \nabla \cdot (D_p \nabla p - \mu_p p \vec{E}) + G - R $$
где G — скорость генерации носителей, R — скорость их рекомбинации. Эти уравнения лежат в основе численного моделирования в программных пакетах, используемых при проектировании интегральных схем и фотоэлектрических устройств.
Коэффициенты подвижности и диффузии могут быть измерены различными методами:
Эти методы позволяют получать информацию как о равновесных, так и о неравновесных параметрах.
Таким образом, диффузия и дрейф — два фундаментальных механизма переноса носителей заряда в твёрдом теле, определяющих электрические, оптические и тепловые свойства материалов. Их совместное действие формирует сложные, но предсказуемые динамические и стационарные процессы, которые можно описывать, моделировать и использовать в прикладных целях.