Фон в твердом теле как коллективное возбуждение
Фононы представляют собой квазичастицы, описывающие коллективные колебания атомов в кристаллической решётке. С математической точки зрения, это квазигармонические нормальные моды колебательной системы, образованной периодически расположенными атомами. Основной задачей анализа фононов является получение дисперсионных соотношений, т.е. зависимости частоты колебаний (или энергии фонона) от волнового вектора.
Для простейшего одномерного случая атомной цепочки можно вывести дисперсионное соотношение аналитически, в то время как для трёхмерных реальных кристаллов приходится прибегать к численным методам или использовать приближения.
Модель одноатомной линейной цепочки
Рассмотрим одномерную бесконечную цепочку одинаковых атомов массы M, связанных между собой упругими силами, действующими между ближайшими соседями с постоянной силы C. Положение n-го атома описывается смещением un(t) от положения равновесия. Уравнение движения имеет вид:
$$ M \frac{d^2 u_n}{dt^2} = C(u_{n+1} - u_n) + C(u_{n-1} - u_n) $$
Ищем решение в виде бегущей волны:
un(t) = u0ei(qna − ωt)
Подставляя это выражение в уравнение движения, получаем дисперсионное соотношение:
$$ \omega(q) = 2 \sqrt{\frac{C}{M}} \left| \sin\left(\frac{qa}{2} \right) \right| $$
где q — волновой вектор, a — расстояние между атомами (период решетки). Это выражение показывает, что существует максимальная частота (частота Брюллюэна), достигаемая при q = ±π/a.
Групповая и фазовая скорости
По дисперсионному соотношению можно определить:
$$ v_p = \frac{\omega(q)}{q} $$
$$ v_g = \frac{d\omega}{dq} = a \sqrt{\frac{C}{M}} \cos\left(\frac{qa}{2}\right) $$
При q → 0 (длинные волны) фазовая и групповая скорости совпадают. Это соответствует акустической моде с линейной дисперсией.
Двухатомная цепочка и возникновение оптических фононов
Если в элементарной ячейке содержатся два атома с массами M1 и M2, то колебания описываются двумя различными модами:
Для такой цепочки дисперсионное соотношение принимает вид:
$$ \omega^2(q) = \frac{C}{\mu} \left[ 1 \pm \sqrt{1 - \frac{4M_1 M_2}{(M_1 + M_2)^2} \sin^2\left(\frac{qa}{2}\right)} \right] $$
где $\mu = \frac{M_1 M_2}{M_1 + M_2}$ — приведённая масса. Знак + соответствует оптической моде, знак − — акустической.
Таким образом, при наличии нескольких атомов в ячейке спектр фононов становится более сложным, включает несколько ветвей.
Фононный спектр в трёхмерных кристаллах
В трёхмерном кристалле с r атомами в элементарной ячейке всего существует 3r нормальных мод колебаний (по три на каждый атом: x, y, z). Из них:
Каждая мода обладает собственной дисперсионной кривой ωj(q), где j — номер моды, а q — волновой вектор в первой зоне Бриллюэна.
Для анизотропных кристаллов форма дисперсионной зависимости существенно зависит от направления распространения волны. В симметричных направлениях, таких как [100], [110], [111], в кубических кристаллах часто наблюдаются характерные особенности, определяемые симметрией решётки.
Зона Бриллюэна и периодичность дисперсии
Волновой вектор q определён в пределах первой зоны Бриллюэна. Периодичность решётки приводит к тому, что ω(q) = ω(q + G), где G — вектор обратной решётки. Это означает, что вся информация о дисперсии содержится в пределах первой зоны.
На границе зоны Бриллюэна (например, при q = π/a в одномерном случае) часто наблюдаются разрывы в производной ω(q), связанные с эффектом Брегговского отражения волн.
Примеры дисперсионных кривых
В алмазоподобной структуре (как у кремния или алмаза) имеется 2 атома в ячейке, что даёт 6 ветвей: 3 акустические (1 продольная LA и 2 поперечные TA) и 3 оптические (1 продольная LO и 2 поперечные TO). На Γ-точке (центр зоны Бриллюэна) оптические моды имеют ненулевую частоту.
В щелочных галоидных кристаллах, таких как NaCl, дисперсионные кривые чётко разделяются на акустические и оптические ветви с характерным разрывом между ними.
Влияние межатомных сил и массы на форму кривых
Жёсткость связей (характеризуемая силовыми постоянными) и массы атомов существенно влияют на форму дисперсионных зависимостей:
Фононные взаимодействия и отклонения от гармоничности
Реальные кристаллы не идеально гармоничны, и при больших амплитудах или высоких температурах важны:
Эти процессы существенно искажают дисперсионные кривые и влияют на ширину фононных линий в спектроскопических измерениях.
Экспериментальные методы исследования дисперсионных соотношений
Фононные дисперсии можно изучать с помощью:
Значение фононных дисперсий в физике твёрдого тела
Дисперсионные соотношения фононов лежат в основе многих явлений:
Таким образом, знание дисперсионных соотношений фононов критически важно для понимания фундаментальных и прикладных свойств кристаллов.