Понятие дырки в кристаллической решётке
В рамках зонной теории твёрдого тела, электронные состояния в кристалле описываются энергетическими зонами, формирующимися вследствие периодического потенциала решётки. При полном заполнении валентной зоны электронами материал ведёт себя как диэлектрик. Однако в реальных условиях часто имеет место неполное заполнение валентной зоны, особенно при тепловом возбуждении или легировании, что приводит к появлению свободных мест в зоне — дырок.
Дырка — это отсутствие электрона в полностью или почти полностью заполненной зоне. Несмотря на то, что дырка не является настоящей частицей, она ведёт себя как квазичастица с определённой эффективной массой, зарядом и импульсом. Это обосновано тем, что совокупность всех электронов, заполняющих зону, может быть эффективно описана через поведение дырок вблизи верхней границы валентной зоны.
Формальный вывод свойств дырки
Рассмотрим почти полностью заполненную зону. Пусть энергия электрона вблизи максимума зоны k = 0 описывается параболическим приближением:
$$ \varepsilon(\mathbf{k}) \approx \varepsilon_0 - \frac{\hbar^2 k^2}{2m^*} $$
где m* < 0 — отрицательная эффективная масса электрона, поскольку энергия убывает с увеличением k вблизи максимума. Для удобства вводится дырка, которая заполняет свободное состояние. При этом:
Энергия дырки:
εh = −(εe − εF)
Импульс дырки:
ph = −pe
Заряд дырки:
qh = +e
Эффективная масса:
mh* = −me* > 0
Таким образом, дырка обладает положительной эффективной массой и положительным зарядом, противоположным электрону.
Кинетика и уравнение движения дырок
Движение дырки в кристалле описывается теми же уравнениями, что и для электронов, с учётом противоположного знака эффективной массы и заряда. В однородном электрическом поле E уравнение движения для дырки имеет вид:
$$ \hbar \frac{d\mathbf{k}}{dt} = +e\mathbf{E} $$
что аналогично уравнению для электрона, но с противоположным знаком заряда. Аналогично, в магнитном поле уравнение Лоренца для дырки:
$$ \frac{d\mathbf{v}_h}{dt} = \frac{e}{m^*_h} (\mathbf{E} + \mathbf{v}_h \times \mathbf{B}) $$
Такое симметричное описание облегчает использование дырок как элементарных носителей положительного заряда при моделировании транспортных свойств в полупроводниках.
Статистические свойства дырок
Статистическое поведение дырок подчиняется ферми-статистике, как и у электронов. Концентрация дырок в валентной зоне задаётся выражением:
p = ∫Dv(ε)[1 − f(ε)] dε
где Dv(ε) — плотность состояний в валентной зоне, f(ε) — функция Ферми. Так как [1 − f(ε)] есть вероятность того, что состояние свободно, интеграл определяет число дырок.
Для невырожденного полупроводника, при kBT ≫ (εF − εv), приближённое выражение для концентрации дырок:
$$ p = N_v \exp\left(-\frac{\varepsilon_F - \varepsilon_v}{k_B T}\right) $$
где Nv — эффективная плотность состояний валентной зоны:
$$ N_v = 2 \left( \frac{2\pi m^*_h k_B T}{h^2} \right)^{3/2} $$
Роль дырок в проводимости полупроводников
В собственных (непримесных) полупроводниках при тепловом возбуждении электроны переходят из валентной зоны в зону проводимости, оставляя после себя дырки. Проводимость таких материалов обеспечивается обоими типами носителей: электронами и дырками. Полный ток можно записать как:
j = −enve + epvh
При этом электроны движутся в направлении, противоположном полю, а дырки — по полю, что приводит к сложению токов.
В легированных полупроводниках типа p дырки являются основными носителями заряда, так как примеси (например, акцепторы) увеличивают их концентрацию. В таких системах описание только через дырки даёт корректное приближение к реальному поведению.
Дырки в контексте зонной диаграммы и процессов перехода
Переход электрона из валентной зоны в зону проводимости приводит к образованию пары “электрон–дырка”. При взаимодействии с фотоном (фотоэффект в твёрдом теле) или в результате теплового возбуждения происходит возбуждение, аналогичное генерации пары. Аналогично, при рекомбинации — электрон заполняет дырку, сопровождаясь выделением энергии.
Появление и исчезновение дырок в процессе таких переходов подчиняется законам сохранения энергии и импульса. Эти процессы лежат в основе оптоэлектронных явлений, таких как фотолюминесценция, электролюминесценция, генерация носителей при освещении и др.
Дырки и эффективная теория квазичастиц
В квантовом описании твёрдого тела дырка рассматривается как квазичастица, возникающая при удалении одного электрона из состояния с почти полной зоной. Теория вторичного квантования описывает дырки как возбуждения на фоне заполненной зоны. Операторы рождения и уничтожения дырок строятся как комплементарные к электронным операторам:
ah†(k) = ae(−k), ah(k) = ae†(−k)
Таким образом, дырки реализуются как квазичастицы фермионной природы, подчиняющиеся тем же квантовым законам, что и электроны, но с обратными характеристиками.
Экспериментальное подтверждение существования дырок
Наблюдаемое положительное отклонение в эффекте Холла в полупроводниках типа p является прямым свидетельством наличия положительных носителей заряда. Эксперименты с термоэлектрическими эффектами, подвижностью носителей и фотопроводимостью также подтверждают, что модель дырки адекватно описывает процессы, происходящие в реальных материалах.
Особенно чётко роль дырок проявляется в полупроводниковых приборах — диодах, транзисторах, солнечных элементах, где управление движением и рекомбинацией дырок имеет ключевое значение для работы устройства.
Применение концепции дырки в современных исследованиях
Современные теоретические и численные методы — включая квантовые расчёты зонной структуры, моделирование в рамках теории возмущений и методов плотностного функционала — активно используют модель дырки для описания низкоэнергетических возбуждений в твёрдом теле. В сверхпроводниках, топологических изоляторах, органических полупроводниках и двумерных материалах (например, графене или d-металлических дихалькогенидах) дырки часто являются важнейшими объектами для анализа транспортных и оптических свойств.
Особую роль играют экситоны — связанные состояния электрона и дырки, которые проявляют себя в оптических спектрах, особенно в низкоразмерных системах. Их существование возможно именно благодаря наличию дырки как полноценной квазичастицы, участвующей во взаимодействии с электроном.