Эффект Холла

Основы эффекта Холла в твёрдом теле

Физическая природа эффекта Холла Эффект Холла — это появление поперечного электрического напряжения в проводнике или полупроводнике при протекании тока в магнитном поле, перпендикулярном направлению тока. Это явление обусловлено действием силы Лоренца на подвижные носители заряда. При движении зарядов в поперечном магнитном поле они отклоняются, накапливаясь у одной стороны образца и создавая поперечную разность потенциалов, называемую холловским напряжением.

В случае отрицательных носителей (электронов) отклонение происходит в одну сторону, а при положительных (дырах) — в противоположную. Таким образом, эффект Холла позволяет не только измерить величину магнитного поля, но и определить знак и плотность носителей заряда.

Математическое описание Пусть по образцу течёт ток плотностью j⃗ вдоль оси x, а магнитное поле B⃗ направлено вдоль оси z. Тогда сила Лоренца на носитель заряда q с дрейфовой скоростью v⃗_d определяется как

F⃗_L = qv⃗_d × B⃗.

Эта сила вызывает смещение носителей вдоль оси y, в результате чего возникает электрическое поле E⃗_H, препятствующее дальнейшему накоплению зарядов. В стационарном режиме достигается равновесие:

qE⃗_H + qv⃗_d × B⃗ = 0,

откуда

E⃗_H = −v⃗_d × B⃗.

Связь между токовой плотностью и дрейфовой скоростью задаётся выражением:

j⃗ = nqv⃗_d,

где n — концентрация носителей. Подставляя, получаем выражение для холловского электрического поля:

$$ \vec{E}_H = -\frac{1}{n q} \vec{j} \times \vec{B}. $$

Компонента вдоль оси y даёт выражение для измеряемого холловского напряжения:

$$ E_y = \frac{j_x B_z}{n q}. $$

Холловское напряжение и коэффициент Холла Холловское напряжение V_H измеряется между гранями образца, перпендикулярными как току, так и магнитному полю. Если ширина образца w, то

$$ V_H = E_y w = \frac{j_x B_z}{n q} w. $$

Вводят коэффициент Холла R_H:

$$ R_H = \frac{E_y}{j_x B_z} = \frac{1}{n q}. $$

Знак R_H указывает на тип носителей (отрицательный для электронов, положительный для дырок), а модуль даёт информацию о их концентрации.

Экспериментальная реализация Для наблюдения эффекта Холла берётся тонкий образец с четырьмя контактами. Через противоположные контакты пропускается ток, а между другими двумя измеряется напряжение в присутствии перпендикулярного магнитного поля. Холловское напряжение мало по величине, и его измерение требует высокой чувствительности, особенно при малых концентрациях носителей.

Типичная геометрия — прямоугольная пластина, в которой важно обеспечить равномерное распределение тока и избежать паразитных термоэлектрических эффектов. Часто применяется техника обратных полярностей для исключения побочных напряжений.

Температурные и магнитные зависимости Коэффициент Холла может зависеть от температуры, особенно в полупроводниках, где концентрация носителей сильно изменяется с температурой. В металлах эта зависимость слабее, поскольку число носителей практически постоянно.

Кроме того, при сильных магнитных полях проявляются нелинейности, связанные с кривизной траекторий движения носителей, а также с многополосной структурой зон. В таких условиях эффект Холла уже не подчиняется простой формуле с одним R_H, и требуется учёт вклада различных типов носителей.

Аномальный эффект Холла В ферромагнетиках наблюдается аномальный эффект Холла, заключающийся в появлении дополнительного вклада в поперечное напряжение, пропорционального намагниченности образца. Этот вклад имеет квантовомеханическую природу и связан с спин-орбитальным взаимодействием. В таком случае выражение для напряжения имеет вид:

E_y = R_Hj_xB_z + R_Sj_xM_z,

где R_S — аномальный коэффициент Холла, M_z — намагниченность вдоль z.

Квантовый эффект Холла В двумерных электронных системах при низких температурах и сильных магнитных полях наблюдается квантовый эффект Холла, при котором поперечная проводимость квантуется:

$$ \sigma_{xy} = \frac{e^2}{h} \nu, $$

где ν — целое (или дробное) квантовое число. Одновременно продольная проводимость σ_xx стремится к нулю. Это явление иллюстрирует квантовую природу проводимости в двумерных системах и имеет фундаментальное значение для стандарта сопротивления.

Практическое значение эффекта Холла Эффект Холла используется в измерении:

• магнитных полей (датчики Холла);
• концентрации носителей и их подвижности;
• типа проводимости (n- или p-тип);
• особенностей зонной структуры;
• проявлений спинтроники и топологических состояний.

Датчики Холла широко применяются в промышленности и технике: в автомобильной электронике, датчиках положения, устройствах измерения тока и других.

Влияние геометрии образца и контактной схемы Точность измерений зависит от корректной геометрии: форма образца, толщина, симметрия расположения контактов. В практических схемах используется так называемая геометрия Ван дер Пау — методика, позволяющая определять холловское напряжение даже на произвольной плоской форме образца, при условии, что контакты малы и расположены на границе.

Многозонные и многотипные носители В реальных кристаллах часто присутствуют как электроны, так и дыры. В этом случае общее выражение для коэффициента Холла усложняется:

$$ R_H = \frac{(p\mu_p^2 - n\mu_n^2)}{e(p\mu_p + n\mu_n)^2}, $$

где n, p — концентрации электронов и дырок, μ_n, μ_p — их подвижности. Знак и величина коэффициента Холла тогда зависят от соотношения подвижностей и концентраций, что требует аккуратной интерпретации экспериментальных данных.

Влияние рассеяния и подвижности Подвижность носителей μ входит в выражения, связывающие коэффициент Холла с другими транспортными характеристиками. Связь с удельной проводимостью σ следующая:

σ = nqμ,

что позволяет совместным измерением σ и R_H определить как подвижность, так и концентрацию:

$$ n = \frac{1}{q R_H}, \quad \mu = \frac{\sigma}{n q}. $$

Таким образом, эффект Холла является мощным инструментом в исследовании электронной структуры твёрдых тел.